ფურიეს წარმოდგენა და ფურიეს ტრანსფორმაცია

ზოგჯერ დროს დომენში მოცემული ყველა ინფორმაცია არ არის საკმარისი. ეს გვაძლევს შესაძლებლობას გადავიდეთ სიგნალის სიხშირის დომენში სიგნალის შესახებ მეტი ინფორმაციის მოსაძებნად. ერთი დომენიდან მეორეში გადასვლა არის ტრანსფორმაცია. დროს დომენიდან სიხშირის დომენში გადასვლისთვის გვაქვს ბევრი ინსტრუმენტი. ფურიეს წყობა და ფურიეს ტრანსფორმაცია არის ორი ინსტრუმენტი, რომლებითაც ჩვენ სიგნალს დეკომპონენტაციას ვახდენთ ჰარმონიულად დაკავშირებულ სინუსოიდებად. ასეთი დეკომპონენტაციით, სიგნალი არის წარმოდგენილი სიხშირის დომენში.
საპრაქტიკო სიგნალების უმეტესი ნაწილი შეიძლება დეკომპონენტაციას გადის სინუსოიდებად. პერიოდულ სიგნალების ასეთი დეკომპონენტაცია არის ნაცნობი როგორც ფურიეს წყობა.

სიხშირის ანალიზი

ისევე, როგორც თეთრი სინათლე შეიძლება დეკომპონენტაციას გადის შვიდ ფერად, პერიოდული სიგნალი შეიძლება დეკომპონენტაციას გადის ჰარმონიულად დაკავშირებულ სიხშირეების წრფივ წოდებულ ჯამად. ეს წრფივი წოდებული ჯამი ჰარმონიულად დაკავშირებული სინუსოიდებისა ან კომპლექსური ექსპონენტების არის ცნობილი როგორც ფურიეს წყობა ან ტრანსფორმაცია. საერთოდ, ნებისმიერი სიგნალის დეკომპონენტაცია მის სიხშირეებით დაკავშირებულ კომპონენტებად არის სიხშირის ანალიზი. სინათლის ანალიზი ფერებად არის სიხშირის ანალიზის ფორმა, ასევე ფურიეს წყობა და ფურიეს ტრანსფორმაცია არის სიხშირის ანალიზის ინსტრუმენტები.

ეს უფრო განსაკუთრებული იქნება შემდეგი მაგალითით.
თუ ჩვენ გავატარებთ სინათლეს პრიზმას მეშვეობით, ის დეკომპონენტაციას გადის შვიდ ფერად VIBGYOR. თითოეულ ფერს აქვს კონკრეტული სიხშირე ან სიხშირეების დიაპაზონი. იგივე სახით, თუ ჩვენ გავატარებთ პერიოდულ სიგნალს ფურიეს ინსტრუმენტით, რომელიც ასრულებს პრიზმის როლს, სიგნალი დეკომპონენტაციას გადის ფურიეს წყობად.

სიგნალები და ვექტორების ანალოგია

N განზომილების ვექტორის წარმოდგენა N განზომილების საჭიროებს. მაგალითად, ხომალდის მოძრაობა მაგიდაზე საჭიროებს მაგიდის წარმოდგენისთვის ხაზები x და y. ჩვენ ასევე ვიცით i, j, k კოორდინატების სისტემა ვექტორის წარმოდგენისთვის სამ განზომილებაში. ეს ერთეულ ვექტორები i, j და k არიან ერთმანეთის მიმართ ортогональური. იგივე სახით, თუ ჩვენ ვიღებთ სიგნალს როგორც მრავალგანზომილებიან ვექტორს, ჩვენ საჭიროებთ მრავალ განზომილებას, რომლებიც ერთმანეთის მიმართ ортогональურია. ის იყო ჯენიუს ფურიეს გენიალი, რომელმაც განათავსა მრავალი განზომილება, რომლებიც ერთმანეთის მიმართ ортогональურია. ეს არის სინუსოიდები ჰარმონიულად დაკავშირებული სინუსოიდებით ან კომპლექსური ექსპონენტებით. განიხილეთ განზომილებები (ასევე ცნობილი როგორც ბაზისები)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
ასე რომ, ყველა sinnω0t არის ортогональური მეორე Sinmω0t (n≠m) და ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ sinω0t, sin2ω0t… ∞ როგორც პირველი განზომილებები (ასევე ცნობილი როგორც ბაზისები) პერიოდული სიგნალის გამოსახატავად. ასევე, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ როგორც დამატებითი განზომილებები, როდესაც sinω0t განზომილებები არ არის გამოსაყენებელი. ჩვენ ვნახავთ, რომ მხოლოდ კოსინუსური ტერმინები იქნება საჭირო ლუწ სიგნალებისთვის და მხოლოდ სინუსური ტერმინები იქნება საჭირო კერძო სიგნალებისთვის. პერიოდული სიგნალისთვის, რომელიც არ არის ნამდვილად ლუწი ან კერძო, ჩვენ გამოვიყენებთ სინუსურ და კოსინუსურ ტერმინებს.

შენიშვნა
მხოლოდ პერიოდული სიგნალები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფურიეს წყობით, თუ სიგნალი დასრულებს დირიხლეს პირობებს. არაპერიოდული სიგნალებისთვის ჩვენ გვაქვს ფურიეს ტრანსფორმაციის ინსტრუმენტი, რომელიც ტრანსფორმირებს სიგნალს დროს დომენიდან სიხშირის დომენში.
სიგნალის დეკომპონენტაცია მის ჰარმონიულად დაკავშირებულ სიხშირეებად არის ცნობილი როგორც ფურიეს ანალიზი, ხოლო შებრუნება, როგორც ფურიეს სინთეზე.

დირიხლეს პირობები

x (t) არის აბსოლუტურად ინტეგრირებადი ნებისმიერ პერიოდში, ესეით:

x (t) აქვს სასრული რაოდენობის მაქსიმუმები და მინიმუმები ნებისმიერ სასრულ ინტერვალში t.
x (t) აქვს სასრული რაოდენობის დისკონტინუალობები ნებისმიერ სასრულ ინტერვალში t, და თითოეული ეს დისკონტინუალობა არის სასრული.
შენიშვნა, რომ დირიხლეს პირობები არის საკმარისი, მაგრამ არა საჭირო პირობები ფურიეს წყობის წარმოდგენისთვის.

დანიშნულება: დაიცავეთ IGINAL, კარგი სტატიები ღირს გაზიარების, თუ არსებობს დარღვევა გთხოვთ დაუკავშირდეთ წაშლა.