Fourier Serisi ve Fourier Dönüşümü

Bazen zaman domenindeki tüm bilgi yeterli olmayabilir. Bu, sinyal hakkında daha fazla bilgi almak için sinyali frekans domenine taşımamıza neden olur. Bu bir domenden diğerine geçiş dönüşüm olarak bilinir. Sinyalin zaman domeninden frekans domenine geçişini sağlamak için birçok araç vardır. Fourier Serisi ve Fourier Dönüşümü, bu araçların ikisidir ve sinyali harmonik ilişkili sinüslerin toplamına ayırır. Böyle bir ayrışma ile, bir sinyal frekans domeninde temsil edildiğinde söylenir.
Çoğu pratik sinyal sinüzoidlere ayrılabilir. Periyodik sinyallerin bu tür bir ayrışmasına Fourier serisi denir.

Frekans Analizi

Beyaz ışığın yedi renge ayrılabilmesi gibi, periyodik bir sinyal de harmonik ilişkili frekansların doğrusal ağırlıklı toplamına ayrılabilir. Bu harmonik ilişkili sinüzoidlerin veya karmaşık üstel fonksiyonların doğrusal ağırlıklı toplamı Fourier Serisi veya Dönüşümü olarak bilinir. Genel olarak, herhangi bir sinyelin frekansla ilgili bileşenlerine ayrılması frekans analizi olarak adlandırılır. Işığın renklere ayrılması aslında bir frekans analizi formudur, bu yüzden Fourier serisi ve Fourier dönüşümü de frekans analizinin araçlarıdır.

Bu, aşağıdaki örnekle daha net hale gelebilir.
Eğer bir ışığı bir prizma üzerinden geçirirsek, ışık yedi renge (VIBGYOR) ayrılır. Her renk belirli bir frekansa veya frekans aralığına sahiptir. Aynı şekilde, eğer bir periyodik sinyali Fourier aracı (prizmanın rolünü oynayan) üzerinden geçirirsek, sinyal bir Fourier serisine ayrılır.

Sinyaller ve Vektörler Analogy

N boyutlu bir vektör, temsili için N boyuta ihtiyaç duyar. Mesela, bir masanın üzerinde hareket eden bir karınca, pozisyonunu temsil etmek için iki boyuta ihtiyaç duyar, yani x ve y. Ayrıca, üç boyutta bir vektörün temsili için i, j, k koordinat sisteminden de haberdarız. Bu birim vektörler i, j ve k birbirine dikdir. Aynı şekilde, bir sinyeli çok boyutlu bir vektör olarak ele alırsak, birbirine dik olan birçok boyuta ihtiyaç duyarız. Bu çok boyutlu, birbirine dik boyutları icat eden J. B. J. Fourier'di. Bu, harmonik ilişkili sinüzoidler veya karmaşık üstel fonksiyonlardır. Temel boyutları (ayrıca bazlar olarak da adlandırılır)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Böylece, tüm sinnω0t, Sinmω0t (n≠m) ile ortogonal olup, bu nedenle sinω0t, sin2ω0t… ∞'yi temel boyutlar (bazlar) olarak kullanarak bir periyodik sinyali ifade edebiliriz. Benzer şekilde, cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞'yi de ek boyutlar olarak, sinω0t boyutları kullanılabilir olmadığında kullanabiliriz. Daha sonra göreceğiz ki, sadece kosinüs terimleri çift sinyaller için uygun olacak ve sadece sinüs terimleri tek sinyaller için uygun olacak. Hem çift hem de tek olmayan periyodik bir sinyal için, hem sinüs hem de kosinüs terimlerini kullanacağız.

NOT
Sadece Dirichlet koşullarını sağlayan periyodik sinyaller Fourier serisi olarak temsil edilebilir. Periyodik olmayan sinyaller için, sinyali zaman domeninden frekans domenine dönüştüren Fourier dönüşüm aracımız var.
Bir sinyelin harmonik ilişkili frekanslarına ayrılması Fourier Analizi olarak bilinirken, tersi yani yeniden birleştirme, Fourier Sentezi olarak adlandırılır.

Dirichlet Koşulları

x (t), herhangi bir periyotta mutlak integrallenebilirdir, yani,

x (t), t'nin herhangi bir sonlu aralığında sonlu sayıda maksimum ve minimuma sahiptir.
x (t), t'nin herhangi bir sonlu aralığında sonlu sayıda süreksizliğe sahiptir ve bu süreksizlikler sonludur.
Not: Dirichlet koşulları, Fourier serisi temsili için yeterli ancak gerekli koşullar değildir.

Açıklama: Orijinal metni saygı gösterin, iyi makaleler paylaşılabilir, ihlal olması durumunda silme talebiyle iletişime geçiniz.