Furijeva serija i Furijeova transformacija

Nekad sve informacije u vremenskom domenu nisu dovoljne. To nas tera da se premjestimo u frekvencijski domen signala kako bismo izvukli više informacija o signalu. Ova promjena domene signala s vremena na frekvenciju poznata je kao transformacija. Za promjenu domene signala s vremena na frekvenciju imamo mnogo alata. Fourierov red i Fourierova transformacija su dva od alata u kojima dekomponiramo signal na harmonički povezane sinuside. S takvom dekompozicijom, signal se smatra predstavljenim u frekvencijskom domenu.
Najveći dio praktičnih signala može se dekomponirati na sinuside. Takva dekompozicija periodičnih signala zove se Fourierov red.

Frekvencijska analiza

Kao što bijeli svjetlosti može se dekomponirati na sedam boja, periodični signal također se može dekomponirati na linearnu težinsku sumu harmonički povezanih frekvencija. Ova linearna težinska suma harmonički povezanih sinusoida ili kompleksnih eksponencijalnih funkcija poznata je kao Fourierov red ili Fourierova transformacija. Općenito, dekompozicija bilo kojeg signala na njegove komponente povezane s frekvencijom naziva se frekvencijska analiza. Kao što je analiza svjetlosti na boje zapravo oblik frekvencijske analize, Fourierov red i Fourierova transformacija su također alati frekvencijske analize.

Ovo može biti jasnije iz sljedećeg.
Pretpostavimo da prođemo svjetlost kroz prizmu, ona se razbija na sedam boja VIBGYOR. Svaka boja ima određenu frekvenciju ili raspon frekvencija. Na isti način, ako prođemo periodični signal kroz Fourierov alat, koji igra ulogu prizme, signal se dekomponira u Fourierov red.

Analogija signala i vektora

Vektor s N dimenzija treba N dimenzija za svoje predstavljanje. Kao što mrav koji se kreće po stolu treba dvije dimenzije za predstavljanje svoje pozicije na stolu, tj. x i y. Također smo upoznati s i, j, k koordinatnim sustavom za predstavljanje vektora u tri dimenzije. Ovi jedinični vektori i, j i k su međusobno ortogonalni. Na isti način, ako tretiramo signal kao multidimenzionalni vektor, potrebno nam je mnogo više dimenzija koje su međusobno ortogonalne. To je genijalnost J. B. J. Fouriera koji je izumio multidimenzije, koje su međusobno ortogonalne. To su sinusoidi s harmonički povezanima sinusoidama ili kompleksnim eksponencijama. Razmotrimo dimenzije (također nazivane baze)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Stoga, svi sinnω0t su ortogonalni sa Sinmω0t (n≠m) i stoga možemo koristiti sinω0t, sin2ω0t… ∞ kao osnovne dimenzije (također nazivane baze) za izrazavanje periodičnog signala. Slično tome, možemo koristiti i cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ kao dodatne dimenzije kada se ne mogu koristiti dimenzije sinω0t. Vidjet ćemo da za parne signale prikladne su samo kosinusne komponente, a za neparne signale samo sinusne komponente. Za periodični signal ni parni ni neparan, koristimo i sinusne i kosinusne komponente.

NAPOMENA
Samo periodični signali mogu se predstaviti kao Fourierov red pod uvjetom da signal ispunjava Dirichletove uvjete. Za nepериодични сигнали, имамо алат Фуријеова трансформација који трансформира сигнал из временског у фреквенцијски домен.
Разрешавање сигнала на његове хармонијски повезане фреквенције познато је као Фуријеова анализа, док је обрнуто, рецомбинација, позната као Фуријеова синтеза.

Dirichletovi uvjeti

x (t) apsolutno integrabilan je nad bilo kojim periodom, to jest,

x (t) ima konačan broj maksimuma i minimuma unutar bilo kakvog konačnog intervala t.
x (t) ima konačan broj prekida unutar bilo kakvog konačnog intervala t, a svaki od tih prekida je konačan.
Treba napomenuti da su Dirichletovi uvjeti dovoljni, ali ne nužni uvjeti za predstavljanje Fourierovim redom.

Izjava: Poštujte original, dobri članci vrijedni su dijeljenja, ukoliko postoji kršenje autorskih prava molimo obratite se za brisanje.