Σειρές Fourier και Μετατόπιση Fourier

Μερικές φορές, όλες οι πληροφορίες στο χρονικό πεδίο δεν είναι αρκετές. Αυτό μας οδηγεί να μεταβούμε στο πεδίο συχνοτήτων του σήματος για την απόκτηση περισσότερων πληροφοριών γι' αυτό. Αυτή η μεταβολή από ένα πεδίο σε άλλο είναι γνωστή ως μετατροπή. Για τη μετατροπή του πεδίου του σήματος από το χρονικό στο πεδίο συχνοτήτων, έχουμε πολλά εργαλεία. Σειρές Fourier και Μετατροπή Fourier είναι δύο από τα εργαλεία με τα οποία αναλύουμε το σήμα σε συναρτησιακά συνδεδεμένα συνημιτόνα. Με τέτοια ανάλυση, λέγεται ότι το σήμα εκφράζεται στο πεδίο συχνοτήτων.
Τα περισσότερα πρακτικά σήματα μπορούν να αναλυθούν σε συνημιτόνα. Η ανάλυση τέτοιων περιοδικών σημάτων ονομάζεται Σειρές Fourier.

Ανάλυση Συχνοτήτων

Όπως ένα λευκό φως μπορεί να αναλυθεί σε επτά χρώματα, ένα περιοδικό σήμα μπορεί επίσης να αναλυθεί σε γραμμικό βαρυμενό άθροισμα συνημιτόνων που συνδέονται συναρμονικά. Αυτό το γραμμικό βαρυμενό άθροισμα συνημιτόνων ή πολύπλοκων εκθετικών είναι γνωστό ως Σειρές Fourier ή Μετατροπή Fourier. Γενικά, η ανάλυση οποιουδήποτε σήματος στις συχνοτικές του συνιστώσες ονομάζεται ανάλυση συχνοτήτων. Η ανάλυση ενός φωτός σε χρώματα είναι στην πραγματικότητα μια μορφή ανάλυσης συχνοτήτων, άρα οι Σειρές Fourier και η Μετατροπή Fourier είναι επίσης εργαλεία ανάλυσης συχνοτήτων.

Αυτό μπορεί να γίνει πιο ξεκάθαρο από το εξής.
Αν περάσουμε ένα φως μέσα από ένα πρίσμα, αυτό χωρίζεται σε επτά χρώματα VIBGYOR. Κάθε χρώμα έχει μια συγκεκριμένη συχνότητα ή ένα πεδίο συχνοτήτων. Παρόμοια, αν περάσουμε ένα περιοδικό σήμα μέσα από ένα εργαλείο Fourier, το οποίο παίζει το ρόλο του πρίσματος, το σήμα αναλύεται σε Σειρές Fourier.

Παραλληλισμός Σημάτων και Διανυσμάτων

Ένα διάνυσμα N διαστάσεων χρειάζεται N διαστάσεις για την αναπαράστασή του. Όπως ένας μυρμήγκας που κινείται σε ένα τραπέζι χρειάζεται δύο διαστάσεις για την αναπαράσταση της θέσης του στο τραπέζι, δηλαδή x και y. Επίσης, είμαστε εξοικειωμένοι με το σύστημα συντεταγμένων i, j, k για την αναπαράσταση ενός διανύσματος σε τρεις διαστάσεις. Αυτά τα μοναδικά διανύσματα i, j και k είναι ορθογώνια μεταξύ τους. Το ίδιο τρόπο, αν θεωρήσουμε ένα σήμα ως πολυδιάστατο διάνυσμα, χρειάζεται πολλές περισσότερες διαστάσεις που είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Ήταν η γενικότητα του J. B. J. Fourier που εφηύρε πολλές διαστάσεις, οι οποίες είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Αυτές είναι συνημιτόνα με συναρμονικά συνδεδεμένα συνημιτόνα ή πολύπλοκα εκθετικά. Θεωρήστε τις διαστάσεις (επίσης ονομαζόμενες βάσεις)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Επομένως, όλα τα sinnω0t είναι ορθογώνια με Sinmω0t (n≠m) και, επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε sinω0t, sin2ω0t… ∞ ως βασικές διαστάσεις (επίσης ονομαζόμενες βάσεις) για την εκφώνηση ενός περιοδικού σήματος. Παρόμοια, μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ ως πρόσθετες διαστάσεις όταν οι διαστάσεις sinω0t δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Θα δούμε ότι για ζυγά σήματα θα είναι κατάλληλα μόνο τα όρια cosine και για περιττά σήματα μόνο τα όρια sine. Για ένα περιοδικό σήμα που δεν είναι ούτε περιττό ούτε ζυγό, χρησιμοποιούμε και τα όρια sine και cosine.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Μόνο τα περιοδικά σήματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως Σειρές Fourier, παρόλο που το σήμα ακολουθεί τις συνθήκες Dirichlet. Για μη περιοδικά σήματα, έχουμε το εργαλείο Μετατροπής Fourier, το οποίο μετατρέπει το σήμα από το χρονικό σε το πεδίο συχνοτήτων.
Η ανάλυση του σήματος στις συναρμονικά συνδεδεμένες συχνότητές του είναι γνωστή ως Ανάλυση Fourier, ενώ η αντίστροφη, δηλαδή η επανασύνθεση, είναι γνωστή ως Σύνθεση Fourier.

Συνθήκες Dirichlet

x (t) είναι απόλυτα ολοκληρώσιμο σε οποιαδήποτε περίοδο, δηλαδή,

x (t) έχει πεπερασμένο αριθμό μέγιστων και ελάχιστων σε οποιοδήποτε πεπερασμένο διάστημα t.
x (t) έχει πεπερασμένο αριθμό διακοπών σε οποιοδήποτε πεπερασμένο διάστημα t, και κάθε μία από αυτές τις διακοπές είναι πεπερασμένη.
Σημειώστε ότι οι συνθήκες Dirichlet είναι αρκετές, αλλά όχι απαραίτητες, για την αναπαράσταση Σειρών Fourier.

Δήλωση: Σέβαστε το αρχικό, καλές αναρτήσεις αξίζουν κοινή χρήση, αν υπάρχει παραβίαση δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας επικοινωνήστε για διαγραφή.