Siri Fourier dan Transformasi Fourier

Kadang-kadang, semua maklumat dalam domain masa tidak mencukupi. Ini mendorong kita untuk bergerak ke domain frekuensi sinyal untuk mendapatkan lebih banyak maklumat tentang sinyal tersebut. Pergerakan dari satu domain ke domain lain dikenali sebagai transformasi. Untuk mengubah domain sinyal dari masa ke frekuensi, kita mempunyai banyak alat. Siri Fourier dan Transformasi Fourier adalah dua alat di mana kita memecah sinyal menjadi sinusoid yang berkaitan harmonik. Dengan pemecahan ini, sinyal dikatakan direpresentasikan dalam domain frekuensi.
Sebahagian besar sinyal praktikal boleh dipisahkan menjadi sinusoid. Pemecahan sinyal berkala seperti ini dikenali sebagai siri Fourier.

Analisis Frekuensi

Seperti cahaya putih boleh dipisahkan menjadi tujuh warna, sinyal berkala juga boleh dipisahkan menjadi jumlah terbobot linear frekuensi yang berkaitan harmonik. Jumlah terbobot linear sinusoid atau eksponensial kompleks yang berkaitan harmonik ini dikenali sebagai Siri Fourier atau Transformasi Fourier. Secara umum, pemecahan sebarang sinyal menjadi komponen frekuensi terkaitnya dikenali sebagai analisis frekuensi. Seperti analisis cahaya menjadi warna sebenarnya merupakan bentuk analisis frekuensi, maka siri Fourier dan transformasi Fourier juga merupakan alat analisis frekuensi.

Ini dapat lebih jelas dari yang berikut.
Misalkan jika kita melewati cahaya melalui prisma, ia akan terpisah menjadi tujuh warna VIBGYOR. Setiap warna mempunyai frekuensi tertentu atau rentang frekuensi. Dengan cara yang sama, jika kita melewati sinyal berkala melalui alat Fourier, yang memainkan peran prisma, sinyal tersebut dipisahkan menjadi siri Fourier.

Analogi Sinyal dan Vektor

Vektor N dimensi memerlukan N dimensi untuk representasinya. Seperti semut yang bergerak di atas meja memerlukan dua dimensi untuk representasi posisinya pada meja, yaitu x dan y. Juga, kita familiar dengan sistem koordinat i, j, k untuk representasi vektor dalam tiga dimensi. Vektor unit i, j, dan k saling ortogonal. Dengan cara yang sama, jika kita memperlakukan sinyal sebagai vektor multidimensi, kita memerlukan banyak dimensi lagi yang saling ortogonal. Itulah kejeniusan J. B. J. Fourier yang menciptakan dimensi multidimensi, yang saling ortogonal. Dimensi-dimensi ini adalah sinusoid dengan sinusoid yang berkaitan harmonik atau eksponensial kompleks. Pertimbangkan dimensi (juga disebut basis)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Dengan demikian, semua sinnω0t bersifat ortogonal dengan Sinmω0t (n≠m) dan oleh itu, kita dapat menggunakan sinω0t, sin2ω0t… ∞ sebagai dimensi utama (juga disebut basis) untuk mengekspresikan sinyal berkala. Demikian pula, kita juga dapat menggunakan cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ sebagai dimensi tambahan ketika dimensi sinω0t tidak dapat digunakan. Kita akan melihat bahwa hanya istilah kosinus yang sesuai untuk sinyal genap dan hanya istilah sinus yang sesuai untuk sinyal ganjil. Untuk sinyal berkala yang bukan ganjil maupun genap, kita menggunakan kedua istilah sinus dan kosinus.

CATATAN
Hanya sinyal berkala yang dapat direpresentasikan sebagai siri Fourier dengan syarat sinyal tersebut mengikuti syarat-syarat Dirichlet. Untuk sinyal non-berkala, kita memiliki alat transformasi Fourier yang mentransformasikan sinyal dari domain masa ke domain frekuensi.
Pemecahan sinyal menjadi frekuensi yang berkaitan harmonik dikenal sebagai Analisis Fourier sementara proses sebaliknya, yaitu rekomposisi, dikenal sebagai Sintesis Fourier.

Syarat-syarat Dirichlet

x (t) dapat diintegralkan mutlak selama periode apapun, yaitu,

x (t) mempunyai bilangan maksimum dan minimum yang terbatas dalam selang waktu t yang terbatas.
x (t) mempunyai bilangan diskontinuitas yang terbatas dalam selang waktu t yang terbatas, dan setiap diskontinuitas ini terbatas.
Perlu dicatat bahwa syarat-syarat Dirichlet adalah syarat cukup tetapi tidak perlu untuk representasi siri Fourier.

Pernyataan: Hormati asli, artikel bagus layak dibagikan, jika ada pelanggaran hak cipta silakan hubungi untuk dihapus.