Deret Fourier dan Transformasi Fourier

Terkadang, semua informasi di domain waktu tidak cukup. Hal ini mendorong kita untuk beralih ke domain frekuensi dari sinyal untuk mengekstrak lebih banyak informasi tentang sinyal tersebut. Perpindahan dari satu domain ke domain lainnya dikenal sebagai transformasi. Untuk mengubah domain sinyal dari waktu ke frekuensi, kita memiliki banyak alat. Deret Fourier dan Transformasi Fourier adalah dua dari alat-alat tersebut di mana kita memecah sinyal menjadi sinusoid yang terkait harmonis. Dengan dekomposisi seperti itu, sinyal dikatakan direpresentasikan dalam domain frekuensi.
Sebagian besar sinyal praktis dapat dipisahkan menjadi sinusoid. Dekomposisi sinyal periodik semacam itu disebut deret Fourier.

Analisis Frekuensi

Sama seperti cahaya putih dapat dipisahkan menjadi tujuh warna, sinyal periodik juga dapat dipisahkan menjadi jumlah berat linear dari frekuensi yang terkait harmonis. Jumlah berat linear dari sinusoid atau eksponensial kompleks yang terkait harmonis ini dikenal sebagai Deret Fourier atau Transformasi Fourier. Secara umum, dekomposisi sinyal apa pun menjadi komponen-komponen frekuensinya disebut analisis frekuensi. Seperti analisis cahaya menjadi warna sebenarnya merupakan bentuk analisis frekuensi, sehingga deret Fourier dan transformasi Fourier juga merupakan alat analisis frekuensi.

Hal ini dapat lebih jelas dari berikut.
Misalkan jika kita melewati cahaya melalui prisma, cahaya tersebut akan terpecah menjadi tujuh warna VIBGYOR. Setiap warna memiliki frekuensi tertentu atau rentang frekuensi. Dengan cara yang sama, jika kita melewati sinyal periodik melalui alat Fourier, yang berperan sebagai prisma, sinyal tersebut akan terdekomposisi menjadi deret Fourier.

Analogi Sinyal dan Vektor

Vektor N dimensi membutuhkan N dimensi untuk representasinya. Seperti semut yang bergerak di atas meja membutuhkan dua dimensi untuk merepresentasikan posisinya di atas meja yaitu x dan y. Selain itu, kita juga familiar dengan sistem koordinat i, j, k untuk representasi vektor dalam tiga dimensi. Vektor satuan i, j, dan k ini saling ortogonal. Dengan cara yang sama, jika kita menganggap sinyal sebagai vektor multidimensi, kita membutuhkan banyak dimensi yang saling ortogonal. Itulah jenius J. B. J. Fourier yang menciptakan dimensi multidimensi, yang saling ortogonal. Ini adalah sinusoid dengan sinusoid yang terkait harmonis atau eksponensial kompleks. Pertimbangkan dimensi (juga disebut basis)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Dengan demikian, semua sinnω0t ortogonal dengan Sinmω0t (n≠m) dan oleh karena itu kita dapat menggunakan sinω0t, sin2ω0t… ∞ sebagai dimensi utama (juga disebut basis) untuk mengekspresikan sinyal periodik. Demikian pula, kita juga dapat menggunakan cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ sebagai dimensi tambahan ketika dimensi sinω0t tidak dapat digunakan. Kita akan melihat bahwa hanya istilah kosinus yang cocok untuk sinyal genap dan hanya istilah sinus yang cocok untuk sinyal ganjil. Untuk sinyal periodik yang bukan ganjil maupun genap, kita menggunakan kedua istilah sinus dan kosinus.

CATATAN
Hanya sinyal periodik yang dapat direpresentasikan sebagai deret Fourier dengan syarat sinyal tersebut memenuhi kondisi Dirichlet. Untuk sinyal non-periodik, kita memiliki alat transformasi Fourier yang mentransformasi sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi.
Pelepasan sinyal menjadi frekuensi-frekuensi yang terkait harmonis dikenal sebagai Analisis Fourier sementara kebalikannya, yaitu rekombinasi, dikenal sebagai Sintesis Fourier.

Kondisi Dirichlet

x (t) dapat diintegralkan secara absolut selama periode apapun, yaitu,

x (t) memiliki jumlah maksimum dan minimum yang terbatas dalam interval t yang terbatas.
x (t) memiliki jumlah diskontinuitas yang terbatas dalam interval t yang terbatas, dan setiap diskontinuitas tersebut terbatas.
Catatan bahwa kondisi Dirichlet adalah kondisi yang cukup tetapi tidak perlu untuk representasi deret Fourier.

Pernyataan: Hormati aslinya, artikel bagus layak dibagikan, jika ada pelanggaran hak cipta silakan hubungi untuk dihapus.