سلسلة فورييه وتحويل فورييه

في بعض الأحيان، المعلومات في مجال الزمن ليست كافية. هذا يجعلنا ننتقل إلى مجال التردد للإشارة لاستخراج مزيد من المعلومات حول الإشارة. يُعرف هذا الانتقال من مجال إلى آخر باسم التحويل. ولتغيير مجال الإشارة من الزمن إلى التردد، لدينا العديد من الأدوات. سلسلة فورير وتحويل فورير هما من الأدوات التي نقوم فيها بتفكيك الإشارة إلى جيبية ذات علاقة توافقية. بهذه الطريقة، يمكن القول أن الإشارة تمثل في مجال التردد.
يمكن تفكيك معظم الإشارات العملية إلى الجيبيات. ويُسمى هذا التفكيك للإشارات الدورية بسلسلة فورير.

تحليل التردد

مثلما يمكن تفكيك الضوء الأبيض إلى سبع ألوان، يمكن أيضًا تفكيك الإشارة الدورية إلى مجموع خطي موزون من الترددات ذات العلاقة التوافقية. يُعرف هذا المجموع الخطي الموزون من الجيبيات أو الأس المعقدة بسلسلة فورير أو تحويل فورير. بشكل عام، تُسمى عملية تفكيك أي إشارة إلى مكوناتها ذات العلاقة بالتردد بتحليل التردد. مثل تحليل الضوء إلى ألوانه هو في الواقع نوع من تحليل التردد، وبالتالي فإن سلسلة فورير وتحويل فورير هما أيضًا أدوات لتحليل التردد.

يمكن أن يكون ذلك أكثر وضوحًا من خلال الأمثلة التالية.
افترض أنه إذا مررنا ضوءًا عبر منشور، فإنه ينقسم إلى سبعة ألوان VIBGYOR. لكل لون تردد معين أو نطاق من الترددات. بنفس الطريقة، إذا مررنا إشارة دورية عبر أداة فورير، والتي تلعب دور المنشور، يتم تفكيك الإشارة إلى سلسلة فورير.

مثيلة الإشارات والمتجهات

يتطلب المتجه ذو N بعد N بعدًا لتمثيله. مثل حركة النملة على الطاولة تحتاج إلى بعدين لتمثيل موقعها على الطاولة، أي x و y. كما أننا معتادون على نظام الإحداثيات i، j، k لتمثيل المتجه في ثلاثة أبعاد. هذه الوحدات المتجهة i، j، k متعامدة مع بعضها البعض. بنفس الطريقة، إذا اعتبرنا الإشارة كمتجه متعدد الأبعاد، فإننا نحتاج إلى المزيد من الأبعاد المتعامدة مع بعضها البعض. كان العبقرية J. B. J. Fourier هي من اخترعت الأبعاد المتعددة، والتي تكون متعامدة مع بعضها البعض. هذه هي الجيبيات ذات الترددات التوافقية أو الأس المعقدة. فلنفترض الأبعاد (وتسمى أيضًا القواعد)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
وبالتالي، فإن جميع sinnω0t متعامدة مع Sinmω0t (n≠m) ويمكننا استخدام sinω0t، sin2ω0t… ∞ كالأبعاد الأولية (وتسمى أيضًا القواعد) لتعبير عن الإشارة الدورية. وبالمثل، يمكننا أيضًا استخدام cosω0t، cos2ω0t، cos3ω0t… ∞ كأبعاد إضافية عندما لا يمكن استخدام أبعاد sinω0t. سنرى أن المصطلحات الكوسينية فقط ستكون مناسبة للإشارات الزوجية والجيبية فقط ستكون مناسبة للإشارات الفردية. للإشارة الدورية التي ليست زوجية ولا فردية، نستخدم كلاً من المصطلحات الجيبية والكوسينية.

ملاحظة
يمكن تمثيل الإشارات الدورية فقط كسلسلة فورير شريطة أن تتبع الإشارة شروط ديريشليت. بالنسبة للإشارات غير الدورية، لدينا أداة تحويل فورير التي تقوم بتحويل الإشارة من مجال الزمن إلى مجال التردد.
يُعرف تحليل الإشارة إلى تردداتها ذات العلاقة التوافقية بتحليل فورير بينما العكس، أي إعادة التركيب، يُعرف بتركيب فورير.

شروط ديريشليت

x (t) قابلة للتكامل المطلق خلال أي فترة، أي،

لدى x (t) عدد محدود من النقاط القصوى والدنيا خلال أي فترة زمنية محدودة.
لدى x (t) عدد محدود من عدم الاستمرارية خلال أي فترة زمنية محدودة، وكل هذه عدم الاستمرارية محدودة.
لاحظ أن شروط ديريشليت هي شروط كافية ولكن ليس ضرورية لتمثيل سلسلة فورير.

بيان: احترم الأصلي، المقالات الجيدة تستحق المشاركة، وإذا كان هناك انتهاك للحقوق يرجى التواصل لإزالة المحتوى.