فوريئر سیریز اور فوريئر ترانسفورم

کبھی کبھی وقت کے میدان میں موجود تمام معلومات کافی نہیں ہوتی۔ اس سے ہمیں سگنل کے فریکوئنسی میدان میں منتقل ہونا پڑتا ہے تاکہ سگنل کے بارے میں مزید معلومات حاصل کی جا سکیں۔ اس میدان سے دوسرے میدان میں منتقلی کو تبدیلی کہا جاتا ہے۔ وقت کے میدان سے فریکوئنسی میدان میں منتقلی کے لیے ہمیں کئی آلات ملتے ہیں۔ فوریئر سیریز اور فوریئر تبدیلی دونوں آلات میں ہم سگنل کو موزوں طور پر متعلقہ سائنوڈس میں تقسیم کرتے ہیں۔ اس تقسیم کے ساتھ، سگنل کو فریکوئنسی میدان میں ظاہر کیا جاتا ہے۔
زیادہ تر عملی سگنل کو سائنوڈس میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ ایک متناوب سگنل کی ایسی تقسیم کو فوریئر سیریز کہا جاتا ہے۔

فریکوئنسی تجزیہ

جیسے سفید روشنی کو سات رنگوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، ویسے ہی متناوب سگنل کو موزوں طور پر متعلقہ فریکوئنسیوں کے لائنر وزندار مجموعہ میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ یہ موزوں طور پر متعلقہ سائنوڈس یا مختلط ایکسپونینشیل کا لائنر وزندار مجموعہ فوریئر سیریز یا تبدیلی کہلاتا ہے۔ عام طور پر، کسی بھی سگنل کو اپنے فریکوئنسی متعلقہ کامپوننٹس میں تقسیم کرنے کو فریکوئنسی تجزیہ کہا جاتا ہے۔ روشنی کی تجزیہ کرنے کی طرح جو دراصل ایک قسم کی فریکوئنسی تجزیہ ہے، اسی طرح فوریئر سیریز اور فوریئر تبدیلی بھی فریکوئنسی تجزیہ کے آلات ہیں۔

اس کو زیادہ واضح طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔
فرض کریں کہ ہم ایک روشنی کو ایک پرزم سے گزارتے ہیں، تو یہ سات رنگوں VIBGYOR میں تقسیم ہو جاتا ہے۔ ہر رنگ کا ایک خاص فریکوئنسی یا فریکوئنسیوں کا رینج ہوتا ہے۔ اسی طرح، اگر ہم ایک متناوب سگنل کو فوریئر کے ذریعے گزارتے ہیں، جو پرزم کا کام کرتا ہے، تو سگنل کو فوریئر سیریز میں تقسیم کیا جاتا ہے۔

سگنلز اور ویکٹرز کی تشبیہ

ایک N ڈائمینشن کے ویکٹر کے لیے N ڈائمینشن کی ضرورت ہوتی ہے۔ جیسے ایک مچھلی کو میز پر چلنے کے لیے دو ڈائمینشن x اور y کی ضرورت ہوتی ہے۔ ہم i, j, k کوآرڈینیٹ سسٹم سے واقف ہیں جو تین ڈائمینشن میں ویکٹر کی نمائندگی کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ یہ یونٹ ویکٹر i, j اور k آپس میں عمودی ہوتے ہیں۔ اسی طرح اگر ہم ایک سگنل کو ملٹی ڈائمینشنل ویکٹر کی طرح سمجھتے ہیں تو ہمیں کئی زیادہ ڈائمینشن کی ضرورت ہوتی ہے جو آپس میں عمودی ہوتے ہیں۔ یہ J. B. J. فوریئر کا عبقریت تھا جس نے آپس میں عمودی ملٹی ڈائمینشن بنائے۔ یہ موزوں طور پر متعلقہ سائنوڈس یا مختلط ایکسپونینشیل ہیں۔ ڈائمینشن (جو کہ بیسس بھی کہلاتے ہیں) کو دریافت کریں
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
اس طرح، تمام sinnω0t سینmω0t (n≠m) کے ساتھ عمودی ہوتے ہیں اور ہم اس لیے sinω0t, sin2ω0t… ∞ کو ایک متناوب سگنل کو ظاہر کرنے کے لیے بنیادی ڈائمینشن (جو کہ بیسس بھی کہلاتے ہیں) کے طور پر استعمال کر سکتے ہیں۔ اسی طرح، ہم کوسω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ کو بھی اضافی ڈائمینشن کے طور پر استعمال کر سکتے ہیں جب sinω0t ڈائمینشن استعمال نہیں کیے جا سکتے۔ ہم دیکھیں گے کہ صرف کوسائن ٹرمز سے ہی یون سگنل کے لیے مناسب ہوتے ہیں اور صرف سائن ٹرمز سے ہی اوڈ سگنل کے لیے مناسب ہوتے ہیں۔ ایک متناوب سگنل جو نہ یون ہے نہ اوڈ، ہم دونوں سائن اور کوسائن ٹرمز کا استعمال کرتے ہیں۔

نوت
صرف متناوب سگنل کو فوریئر سیریز کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جبکہ سگنل ڈیریچلیٹ کی شرائط کو پورا کرتا ہے۔ غیر متناوب سگنل کے لیے، ہمیں فوریئر تبدیلی کا آلات ہوتا ہے جو سگنل کو وقت کے میدان سے فریکوئنسی میدان میں منتقل کرتا ہے۔
سگنل کو اپنے موزوں طور پر متعلقہ فریکوئنسیوں میں حل کرنے کو فوریئر تجزیہ کہا جاتا ہے جبکہ اس کا اُلٹ، یعنی دوبارہ ترکیب، فوریئر سynthesis کہلاتا ہے۔

ڈیریچلیٹ کی شرائط

x (t) کسی بھی دور میں مطلق طور پر انٹیگریبل ہے، یعنی،

x (t) کسی بھی محدود t کے دوران محدود تعداد میں ماکسیما اور مینیما ہوتے ہیں۔
x (t) کسی بھی محدود t کے دوران محدود تعداد میں ناپیوستگیوں کا حامل ہوتا ہے، اور یہ ناپیوستگیاں محدود ہوتی ہیں۔
نوت کریں کہ ڈیریچلیٹ کی شرائط فوریئر سیریز کی نمائندگی کے لیے کافی ہیں لیکن ضروری نہیں ہیں۔

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.