Fourier-rekker og Fourier-transformasjon

Noen ganger er ikke all informasjon i tidsdomenet tilstrekkelig. Dette fører oss til å flytte til frekvensdomenet for signal for å trekke ut mer informasjon om signalet. Denne bevegelsen fra et domene til et annet kalles transformasjon. For å endre domenet for et signal fra tid til frekvens har vi mange verktøy. Fourier-rekker og Fourier-transformasjon er to av verktøyene hvor vi dekomponerer signalet til harmonisk relaterte sinusider. Med slik dekomposisjon, sies et signal å være representert i frekvensdomenet.
De fleste praktiske signal kan dekomponeres til sinusider. Slik en dekomposisjon av periodiske signaler kalles en Fourier-rekke.

Frekvensanalyse

Akkurat som hvitt lys kan dekomponeres til syv farger, kan et periodisk signal også dekomponeres til en lineær vektet sum av harmonisk relaterte frekvenser. Denne lineære vektete summen av harmonisk relaterte sinusider eller komplekse eksponentielle kjennes som Fourier-rekker eller -transformasjon. Generelt sett kaller vi dekomposisjon av et hvilket som helst signal til frekvensrelaterte komponenter for frekvensanalyse. Som analyse av lys til farger er faktisk en form for frekvensanalyse, derfor er Fourier-rekker og Fourier-transformasjon også verktøy for frekvensanalyse.

Dette kan bli tydeligere fra følgende.
Anta at vi passerer et lys gjennom en prisme, blir det splittet inn i syv farger VIBGYOR. Hver farge har en spesifikk frekvens eller et frekvensområde. På samme måte, hvis vi passerer et periodisk signal gjennom et Fourier-verktøy, som spiller rollen som prisme, vil signalet bli dekomponert til en Fourier-rekke.

Analogi mellom Signaler og Vektorer

En N-dimensjonal vektor trenger N dimensjoner for sin representasjon. Som en maur som beveger seg på et bord trenger to dimensjoner for representasjon av sin posisjon på bordet, altså x og y. Vi er også kjent med i, j, k-koordinatsystemet for vektorepresentasjon i tre dimensjoner. Disse enhetsvektorene i, j og k er ortogonale til hverandre. På samme måte, hvis vi behandler et signal som en flerdimensjonal vektor, trenger vi mange flere dimensjoner som er ortogonale til hverandre. Det var geniet J. B. J. Fourier som oppfant flerdimensjoner, som er ortogonale til hverandre. Dette er sinusider med harmonisk relaterte sinusider eller komplekse eksponentielle. Betrakt dimensjonene (også kjent som basiser)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Slik at alle sinnω0t er ortogonale med Sinmω0t (n≠m), og vi kan derfor bruke sinω0t, sin2ω0t… ∞ som primære dimensjoner (også kjent som basiser) for å uttrykke et periodisk signal. På samme måte kan vi også bruke cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ som ekstra dimensjoner når sinω0t-dimensjonene ikke kan brukes. Vi vil se at for partallsignaler er bare cosinusledd passende, og for oddetallsignaler er bare sinusledd passende. For et periodisk signal som ikke er partall eller oddetall, bruker vi både sinus- og cosinusledd.

MERK
Kun periodiske signaler kan representeres som Fourier-rekker, forutsatt at signalet følger Dirichlets betingelser. For ikke-periodiske signaler har vi Fourier-transformasjonsverktøyet som transformerer signalet fra tidsdomenet til frekvensdomenet.
Oppløsning av signal til dets harmonisk relaterte frekvenser kjennes som Fourier-analyse, mens det inverse, altså rekombinasjon, kjennes som Fourier-syntese.

Dirichlets betingelser

x (t) er absolutt integrerbart over enhver periode, det vil si,

x (t) har et endelig antall maksima og minima innenfor ethvert endelig intervall av t.
x (t) har et endelig antall diskontinuiteter innenfor ethvert endelig intervall av t, og hver av disse diskontinuitetene er endelige.
Merk at Dirichlets betingelser er tilstrekkelige, men ikke nødvendige, betingelser for Fourier-rekkerepresentasjon.

Erklæring: Respekt for originaliteten, god artikler fortjener å deles, ved kränkning kontakt oss for sletting.