سیستم فوریه و تبدیل فوریه

گاهی اوقات تمام اطلاعات در حوزه زمان کافی نیست. این موضوع ما را به حوزه فرکانس سیگنال برای استخراج اطلاعات بیشتر درباره سیگنال هدایت می‌کند. این حرکت از یک حوزه به حوزه دیگر به عنوان تبدیل شناخته می‌شود. برای تغییر حوزه سیگنال از زمان به فرکانس، ابزارهای مختلفی داریم. سری فوریه و تبدیل فوریه دو از این ابزارها هستند که در آنها سیگنال را به سینوس‌های مرتبط هارمونیک تجزیه می‌کنیم. با چنین تجزیه‌ای، سیگنال در حوزه فرکانس نمایش داده می‌شود.
بسیاری از سیگنال‌های عملی می‌توانند به سینوس‌ها تجزیه شوند. چنین تجزیه‌ای از سیگنال‌های متناوب به عنوان یک سری فوریه شناخته می‌شود.

تجزیه و تحلیل فرکانسی

مانند یک نور سفید که می‌تواند به هفت رنگ تجزیه شود، یک سیگنال متناوب نیز می‌تواند به جمع وزنی خطی فرکانس‌های مرتبط هارمونیک تجزیه شود. این جمع وزنی خطی از سینوس‌ها یا نمایی‌های پیچیده به عنوان سری یا تبدیل فوریه شناخته می‌شود. به طور کلی، تجزیه هر سیگنال به مؤلفه‌های مرتبط با فرکانس به عنوان تجزیه و تحلیل فرکانسی شناخته می‌شود. مانند تجزیه نور به رنگ‌ها که در واقع یک نوع از تجزیه و تحلیل فرکانسی است، بنابراین سری فوریه و تبدیل فوریه نیز ابزارهایی برای تجزیه و تحلیل فرکانسی هستند.

این موضوع از مثال زیر واضح‌تر خواهد شد.
فرض کنید اگر نور را از طریق یک منشور عبور دهیم، به هفت رنگ VIBGYOR تقسیم می‌شود. هر رنگ فرکانس خاص یا محدوده‌ای از فرکانس‌ها دارد. به همین ترتیب، اگر یک سیگنال متناوب را از طریق ابزار فوریه (که نقش منشور را ایفا می‌کند) عبور دهیم، سیگنال به یک سری فوریه تجزیه می‌شود.

شباهت سیگنال‌ها و بردارها

یک بردار N بعدی نیاز به N بعد برای نمایش خود دارد. مانند یک مورچه که روی یک میز حرکت می‌کند و نیاز به دو بعد برای نمایش موقعیت خود روی میز دارد یعنی x و y. همچنین با سیستم مختصات i, j, k برای نمایش یک بردار در سه بعد آشنا هستیم. این بردارهای واحد i, j و k به یکدیگر عمود هستند. به همین ترتیب اگر یک سیگنال را به عنوان یک بردار چندبعدی در نظر بگیریم، نیاز به بسیاری از ابعاد داریم که به یکدیگر عمود هستند. ژان-باتیست ژوزف فوریه چندین بعد را کشف کرد که به یکدیگر عمود هستند. این‌ها سینوس‌هایی با سینوس‌های مرتبط هارمونیک یا نمایی‌های پیچیده هستند. در نظر بگیرید ابعاد (همچنین به عنوان پایه‌ها نامیده می‌شوند)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
بنابراین، تمام sinnω0t با Sinmω0t (n≠m) عمود هستند و بنابراین می‌توانیم sinω0t, sin2ω0t… ∞ را به عنوان ابعاد اصلی (همچنین به عنوان پایه‌ها نامیده می‌شوند) برای بیان یک سیگنال متناوب استفاده کنیم. به همین ترتیب، می‌توانیم cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ را به عنوان ابعاد اضافی وقتی استفاده کنیم که ابعاد sinω0t قابل استفاده نباشند. خواهیم دید که برای سیگنال‌های زوج فقط اصطلاحات کسینوسی مناسب است و برای سیگنال‌های فرد فقط اصطلاحات سینوسی مناسب است. برای یک سیگنال متناوب نه زوج و نه فرد، از هر دو اصطلاح سینوسی و کسینوسی استفاده می‌کنیم.

توجه
فقط سیگنال‌های متناوب می‌توانند به عنوان سری فوریه نمایش داده شوند به شرطی که سیگنال شرایط دیریکله را رعایت کند. برای سیگنال‌های غیرمتناوب، ابزار تبدیل فوریه وجود دارد که سیگنال را از حوزه زمان به حوزه فرکانس تبدیل می‌کند.
تجزیه سیگنال به فرکانس‌های مرتبط هارمونیک به عنوان تحلیل فوریه شناخته می‌شود در حالی که معکوس آن یعنی بازسازی، به عنوان سنتز فوریه شناخته می‌شود.

شرایط دیریکله

x (t) به طور مطلق قابل ادغام در هر دوره است، یعنی،

x (t) تعداد محدودی ماکزیمم و مینیمم در هر بازه محدود t دارد.
x (t) تعداد محدودی ناپیوستگی در هر بازه محدود t دارد و هر یک از این ناپیوستگی‌ها محدود است.
توجه داشته باشید که شرایط دیریکله شرایط کافی اما لازم برای نمایش سری فوریه نیستند.

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوبی که ارزش به اشتراک گذاری دارند، اگر نقض حق نشر وجود دارد لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.