Serye ng Fourier at Transformasyon ng Fourier

Kadalasang hindi sapat ang lahat ng impormasyon sa domain ng oras. Ito ang nagpapahintulot sa amin na lumipat sa domain ng frequency ng signal upang makakuha ng higit pang impormasyon tungkol sa signal. Ang paglipat mula sa isang domain patungo sa iba pang domain ay kilala bilang transformasyon. Para baguhin ang domain ng signal mula sa oras tungo sa frequency, mayroon kaming maraming mga kasangkapan. Serye Fourier at Transformasyon Fourier ang dalawang kasangkapan kung saan natin inihahain ang signal sa harmonically related sinusoids. Sa ganitong dekomposisyon, sinasabing inihahayag ang signal sa domain ng frequency.
Karamihan sa praktikal na mga signal ay maaaring idekompose sa sinusoids. Ang ganitong dekomposisyon ng mga periodic signal ay tinatawag na Serye Fourier.

Pagsusuri ng Frequency

Tulad ng isang puting liwanag na maaaring idekompose sa pitong kulay, maaari ring idekompose ang isang periodic signal sa linear weighted sum ng harmonically related frequencies. Ang linear weighted sum ng harmonically related sinusoids o complex exponentials ay kilala bilang Serye Fourier o Transformasyon Fourier. Sa pangkalahatan, ang dekomposisyon ng anumang signal sa kanyang mga komponenteng kaugnay ng frequency ay tinatawag na pagsusuri ng frequency. Tulad ng pagsusuri ng isang liwanag sa mga kulay, ito ay isang anyo ng pagsusuri ng frequency, kaya ang Serye Fourier at Transformasyon Fourier ay mga kasangkapan din ng pagsusuri ng frequency.

Maaaring mas malinaw ito mula sa sumusunod.
Sa halipang ipasa natin ang isang liwanag sa pamamagitan ng prism, ito ay nahahati sa pitong kulay VIBGYOR. Bawat kulay ay may partikular na frequency o range ng frequencies. Sa parehong paraan, kung ipapasa natin ang isang periodic signal sa pamamagitan ng kasangkapan ng Fourier, na gumaganap bilang prism, ang signal ay idekompose sa isang Serye Fourier.

Analohiya ng Mga Signal at Vector

Ang N dimension vector ay nangangailangan ng N dimensions para sa kanyang representasyon. Tulad ng isang langgam na lumilipad sa lamesa, nangangailangan ito ng dalawang dimensions para sa representasyon ng kanyang posisyon sa lamesa, i.e. x at y. Bukod dito, kilala rin tayo sa i, j, k coordinate system para sa representasyon ng vector sa tatlong dimensions. Ang mga unit vector na i, j, at k ay orthogonal sa bawat isa. Sa parehong paraan, kung trato natin ang isang signal bilang multidimensional vector, nangangailangan ito ng marami pang dimensions na orthogonal sa bawat isa. Si J. B. J. Fourier ang siyang naimbento ng multi-dimensions na orthogonal sa bawat isa. Ito ang mga sinusoids na harmonically related sinusoids o complex exponential. Isaalang-alang ang dimensions (tinatawag din bilang bases)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Kaya, lahat ng sinnω0t ay orthogonal sa Sinmω0t (n≠m) at kaya, maaari nating gamitin ang sinω0t, sin2ω0t… ∞ bilang primary dimensions (tinatawag din bilang bases) upang ipahayag ang isang periodic signal. Parehong maaari rin nating gamitin ang cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ bilang karagdagang dimensions kapag hindi maaaring gamitin ang sinω0t dimensions. Makikita natin na para sa even signals, ang cosine terms lamang ang angkop at para sa odd signal, ang sine terms lamang ang angkop. Para sa isang periodic signal na hindi odd ni even, gagamit tayo ng parehong sine at cosine terms.

PAUNAWA
Maaari lamang ipahayag ang mga periodic signals bilang Serye Fourier basta't sumusunod ito sa kondisyong Dirichlet. Para sa mga non-periodic signals, mayroon tayong kasangkapan ng Transformasyon Fourier na nagtransform ng signal mula sa domain ng oras tungo sa domain ng frequency.
Ang resolusyon ng signal sa kanyang harmonically related frequencies ay kilala bilang Pagsusuri Fourier habang ang kabaligtaran nito, o recombination, ay kilala bilang Synthesis Fourier.

Kondisyong Dirichlet

x (t) ay absolutely integrable sa anumang period, na ang ibig sabihin,

x (t) ay may limitadong bilang ng maxima at minima sa anumang limitadong interval ng t.
x (t) ay may limitadong bilang ng discontinuities sa anumang limitadong interval ng t, at bawat isa sa mga ito ay limitado.
Tandaan na ang kondisyong Dirichlet ay sapat pero hindi kinakailangang kondisyon para sa representasyon ng Serye Fourier.

Pahayag: Respeto sa orihinal, mahusay na artikulo na karapat-dapat na ibahagi, kung may paglabag sa copyright pakiusap na burahin.