फूरियर श्रेणी और फूरियर रूपांतरण

कभी-कभी समय क्षेत्र में सभी जानकारी पर्याप्त नहीं होती। इससे हमें सिग्नल के आवृत्ति क्षेत्र में चलना पड़ता है ताकि सिग्नल के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त की जा सके। एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में यह चलना रूपांतरण के रूप में जाना जाता है। सिग्नल के क्षेत्र को समय से आवृत्ति में बदलने के लिए हमारे पास कई उपकरण हैं। फुरिये श्रेणी और फुरिये रूपांतरण दो ऐसे उपकरण हैं जिनमें हम सिग्नल को सम्बन्धित साइनसॉइड में विघटित करते हैं। इस प्रकार के विघटन से, सिग्नल को आवृत्ति क्षेत्र में प्रदर्शित कहा जाता है।
अधिकांश व्यावहारिक सिग्नलों को साइनसॉइड में विघटित किया जा सकता है। ऐसे आवर्ती सिग्नलों के विघटन को फुरिये श्रेणी कहा जाता है।

आवृत्ति विश्लेषण

जैसे एक सफेद प्रकाश को सात रंगों में विघटित किया जा सकता है, वैसे ही एक आवर्ती सिग्नल को भी सम्बन्धित आवृत्तियों के रैखिक भारित योग में विघटित किया जा सकता है। इस रैखिक भारित सम्बन्धित साइनसॉइड या जटिल घातांकीय को फुरिये श्रेणी या रूपांतरण कहा जाता है। सामान्य रूप से, किसी सिग्नल को उसके आवृत्ति संबंधित घटकों में विघटित करने को आवृत्ति विश्लेषण कहा जाता है। प्रकाश के विश्लेषण को रंगों में वास्तव में एक प्रकार का आवृत्ति विश्लेषण है, इसलिए फुरिये श्रेणी और फुरिये रूपांतरण भी आवृत्ति विश्लेषण के उपकरण हैं।

यह निम्नलिखित से स्पष्ट हो सकता है।
मान लीजिए कि हम एक प्रकाश को एक प्रिज्म से गुजारते हैं, तो यह सात रंग VIBGYOR में विभाजित हो जाता है। प्रत्येक रंग की एक विशिष्ट आवृत्ति या आवृत्तियों की एक श्रेणी होती है। इसी तरह, अगर हम एक आवर्ती सिग्नल को एक फुरिये उपकरण से गुजारते हैं, जो प्रिज्म की भूमिका निभाता है, तो सिग्नल फुरिये श्रेणी में विघटित हो जाता है।

सिग्नल और सदिश की एनालॉजी

एक N आयामी सदिश के प्रतिनिधित्व के लिए N आयामों की आवश्यकता होती है। जैसे एक मेज पर चलने वाले एक कीट के स्थान को प्रदर्शित करने के लिए दो आयामों की आवश्यकता होती है, अर्थात x और y। इसी तरह, हम i, j, k समन्वय प्रणाली से परिचित हैं, जो तीन आयामों में एक सदिश के प्रतिनिधित्व के लिए उपयोग की जाती है। ये इकाई सदिश i, j और k एक दूसरे के लंबवत होते हैं। इसी तरह, अगर हम एक सिग्नल को एक बहु-आयामी सदिश की तरह देखते हैं, तो हमें बहुत अधिक आयामों की आवश्यकता होती है, जो एक दूसरे के लंबवत होते हैं। J. B. J. फुरिये की जेनियस थी जिन्होंने बहु-आयामों का आविष्कार किया, जो एक दूसरे के लंबवत होते हैं। ये सम्बन्धित साइनसॉइड या जटिल घातांकीय हैं। आयामों (जिन्हें आधार भी कहा जाता है) को देखें
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
इस प्रकार, सभी sinnω0t, Sinmω0t (n≠m) के लंबवत होते हैं और इसलिए, हम sinω0t, sin2ω0t… ∞ को आधार के रूप में उपयोग कर सकते हैं ताकि एक आवर्ती सिग्नल को व्यक्त किया जा सके। इसी तरह, हम cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ को भी उपयोग कर सकते हैं जब sinω0t आधारों का उपयोग नहीं किया जा सकता। हम देखेंगे कि एक सम सिग्नल के लिए केवल कोसाइन शब्द उपयुक्त होंगे और एक विषम सिग्नल के लिए केवल साइन शब्द उपयुक्त होंगे। एक आवर्ती सिग्नल के लिए, जो न तो विषम और न ही सम है, हम दोनों साइन और कोसाइन शब्दों का उपयोग करते हैं।

नोट
केवल आवर्ती सिग्नलों को फुरिये श्रेणी के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, जबकि सिग्नल डीरिशलेट की शर्तों का पालन करता है। गैर-आवर्ती सिग्नलों के लिए, हमारे पास फुरिये रूपांतरण उपकरण होता है जो सिग्नल को समय क्षेत्र से आवृत्ति क्षेत्र में रूपांतरित करता है।
सिग्नल को इसकी सम्बन्धित आवृत्तियों में विघटित करने को फुरिये विश्लेषण कहा जाता है, जबकि इसका विपरीत, अर्थात् पुनर्मिलन, फुरिये संश्लेषण के रूप में जाना जाता है।

डीरिशलेट की शर्तें

x (t) किसी भी आवर्ती में पूरी तरह से समाकलनीय है, अर्थात,

x (t) किसी भी सीमित अंतराल t में एक सीमित संख्या के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का होता है।
x (t) किसी भी सीमित अंतराल t में एक सीमित संख्या की असंततियों का होता है, और इन असंततियों में से प्रत्येक सीमित होता है।
नोट कीजिए कि डीरिशलेट की शर्तें फुरिये श्रेणी प्रतिनिधित्व के लिए पर्याप्त हैं, लेकिन आवश्यक नहीं हैं।

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