Serye Fourier at Transformasyon Fourier

May mga pagkakataon na ang lahat ng impormasyon sa domain ng oras ay hindi sapat. Ito ang nagpapahintulot sa atin na lumipat sa domain ng frequency ng signal upang makuha ang higit pang impormasyon tungkol sa signal. Ang paglipat mula sa isang domain patungo sa iba pang domain ay kilala bilang transformasyon. Para baguhin ang domain ng signal mula sa oras tungo sa frequency, mayroon tayong maraming kasangkapan. Serye Fourier at Transformasyon Fourier ay dalawang mga kasangkapan kung saan inaalis natin ang signal sa mga sinusoid na may kaugnayan sa harmonics. Sa ganitong paghihiwalay, ang isang signal ay sinasabing ipinapakita sa domain ng frequency.
Karamihan sa mga praktikal na signal ay maaaring i-decompose sa mga sinusoid. Ang ganitong paghihiwalay ng mga periodic na signal ay tinatawag na Serye Fourier.

Pag-aanalisa ng Frequency

Tulad ng isang puting liwanag na maaaring i-decompose sa pitong kulay, ang isang periodic na signal ay maaari ring i-decompose sa linear weighted sum ng mga harmonically related frequencies. Ang linear weighted sum ng mga harmonically related sinusoids o complex exponentials ay kilala bilang Serye Fourier o Transformasyon Fourier. Sa pangkalahatan, ang paghihiwalay ng anumang signal sa mga component na may kaugnayan sa frequency ay tinatawag na pag-aanalisa ng frequency. Tulad ng pag-aanalisa ng isang liwanag sa mga kulay, ito ay isang anyo ng pag-aanalisa ng frequency, kaya ang Serye Fourier at Transformasyon Fourier ay mga kasangkapan rin ng pag-aanalisa ng frequency.

Ito ay maaaring mas malinaw sa sumusunod.
Sa halip na ipasa ang isang liwanag sa pamamagitan ng prism, ito ay nahahati sa pitong kulay VIBGYOR. Bawat kulay ay may tiyak na frequency o range ng frequency. Sa parehong paraan, kung ipapasa natin ang isang periodic na signal sa pamamagitan ng kasangkapan ng Fourier, na gumaganap bilang prism, ang signal ay i-decompose sa Serye Fourier.

Analohiya ng Mga Signal at Vector

Ang N dimension vector ay nangangailangan ng N dimensions para sa representasyon nito. Tulad ng isang ant na naghahalili sa isang mesa, kailangan ng dalawang dimensions para sa representasyon ng posisyon nito sa mesa, i.e. x at y. Bukod dito, kami ay nakakilala sa i, j, k coordinate system para sa representasyon ng vector sa tatlong dimensions. Ang unit vector i, j, at k ay orthogonal sa bawat isa. Sa parehong paraan, kung trato natin ang isang signal bilang multidimensional na vector, kailangan natin ng marami pang dimensions na orthogonal sa bawat isa. Ito ang genius ni J. B. J. Fourier na imbento ng multi-dimensions, na orthogonal sa bawat isa. Ito ang mga sinusoid na may harmonically related sinusoids o complex exponential. Isaalang-alang ang dimensions (tinatawag din na bases)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Kaya, lahat ng sinnω0t ay orthogonal sa Sinmω0t (n≠m) at kaya, maaari nating gamitin ang sinω0t, sin2ω0t… ∞ bilang primary dimensions (tinatawag din na bases) upang ipakita ang isang periodic signal. Parehong maaari nating gamitin ang cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ bilang additional dimensions kapag hindi maaaring gamitin ang sinω0t dimensions. Makikita natin na para sa even signals, ang cosine terms lang ang magiging suitable at para sa odd signal, ang sine terms lang ang magiging suitable. Para sa isang periodic signal na hindi odd ni even, gagamit tayo ng parehong sine at cosine terms.

PAUNAWA
Ang mga periodic signals lamang ang maaaring ipakita bilang Serye Fourier, basta't sumusunod ang signal sa kondisyong Dirichlet. Para sa mga non-periodic signals, mayroon tayong kasangkapan ng Fourier transform na nagtransform ang signal mula sa domain ng oras tungo sa domain ng frequency.
Ang pag-resolve ng signal sa kanyang harmonically related frequencies ay kilala bilang Pag-aanalisa Fourier habang ang kabaligtaran nito, ang recombination, ay kilala bilang Sysnthesis Fourier.

Kondisyong Dirichlet

x (t) ay absolutely integrable sa anumang period, na ang ibig sabihin,

x (t) ay may limitadong bilang ng maxima at minima sa anumang limitadong interval ng t.
x (t) ay may limitadong bilang ng discontinuities sa anumang limitadong interval ng t, at ang bawat isa sa mga ito ay limitado.
Tandaan na ang kondisyong Dirichlet ay sapat pero hindi kinakailangang kondisyon para sa representasyon ng Serye Fourier.

Pahayag: Respeto sa original, mahusay na mga artikulo na karapat-dapat na ibahagi, kung may labag sa copyright paki-delete.