Fourier-serier och Fourier-transform

Ibland är all information i tidsdomänen inte tillräcklig. Detta gör att vi flyttar oss till frekvensdomänen för signalen för att få ut mer information om signalen. Denna flytt från en domän till en annan kallas transformation. För att ändra signalens domän från tid till frekvens har vi många verktyg. Fourierserien och Fouriertransformen är två av de verktyg där vi dekomponerar signalen i harmoniskt relaterade sinusvågor. Med sådan dekomposition sägs en signal representeras i frekvensdomänen.
Mestadels kan praktiska signaler dekomponeras i sinusvågor. Sådan dekomposition av periodiska signaler kallas en Fourierserie.

Frekvensanalys

Precis som ett vitt ljus kan dekomponeras i sju färger, kan en periodisk signal också dekomponeras i en linjär viktad summa av harmoniskt relaterade frekvenser. Denna linjära viktade summa av harmoniskt relaterade sinusvågor eller komplexa exponentiella kallas Fourierserie eller Fouriertransform. I allmänhet kallas dekomposition av en signal i dess frekvensrelaterade komponenter för frekvensanalys. Som analys av ett ljus i färger egentligen är en form av frekvensanalys, så är Fourierserien och Fouriertransformen också verktyg för frekvensanalys.

Detta kan bli tydligare från följande.
Förmoda att vi låter ett ljus passera genom en prisma, delas det upp i sju färger VIBGYOR. Varje färg har en specifik frekvens eller ett frekvensintervall. På samma sätt, om vi låter en periodisk signal passera genom ett Fourieverktyg, som spelar prismans roll, dekomponeras signalen i en Fourierserie.

Analogi mellan Signaler och Vektorer

En N-dimensionell vektor behöver N dimensioner för sin representation. Precis som en myra som rör sig på ett bord behöver två dimensioner för att representera sin position på bordet, dvs x och y. Vi är också bekanta med i, j, k koordinatsystemet för en vektorsrepresentation i tre dimensioner. Dessa enhetsvektorer i, j och k är ortogonala mot varandra. På samma sätt, om vi behandlar en signal som en flerdimensionell vektor, behöver vi många fler dimensioner som är ortogonala mot varandra. Det var geniet J. B. J. Fourier som hittade flerdimensioner, som är ortogonala mot varandra. Dessa är sinusvågor med harmoniskt relaterade sinusvågor eller komplexa exponentiella. Betrakta dimensionerna (även kallade baser)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Således är alla sinnω0t ortogonala med Sinmω0t (n≠m) och vi kan därför använda sinω0t, sin2ω0t… ∞ som de primära dimensionerna (även kallade baser) för att uttrycka en periodisk signal. På samma sätt kan vi också använda cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ som ytterligare dimensioner när sinω0t-dimensioner inte kan användas. Vi kommer att se att endast kosinustermer är lämpliga för jämna signaler och endast sinusstermer är lämpliga för udda signaler. För en periodisk signal som inte är antingen ojämn eller jämn, använder vi både sinus- och kosinustermer.

NOTERA
Endast periodiska signaler kan representeras som Fourierserier förutsatt att signalen följer Dirichlets villkor. För icke-periodiska signaler har vi Fouriertransformverktyget som transformerar signalen från tidsdomänen till frekvensdomänen.
Upplösning av signalen i dess harmoniskt relaterade frekvenser kallas Fourieranalys medan det omvända, dvs återförening, kallas Fouriersyntes.

Dirichlets villkor

x (t) är absolutintegrerbar över någon period, det vill säga,

x (t) har ett ändligt antal maxima och minima inom något ändligt intervall av t.
x (t) har ett ändligt antal diskontinuiteter inom något ändligt intervall av t, och var och en av dessa diskontinuiteter är ändliga.
Observera att Dirichlets villkor är tillräckliga men inte nödvändiga villkor för Fourierserierepresentation.

Ut