Chuỗi Fourier và Biến đổi Fourier

Đôi khi, tất cả thông tin trong miền thời gian không đủ. Điều này khiến chúng ta phải chuyển sang miền tần số của tín hiệu để trích xuất thêm thông tin về tín hiệu. Việc di chuyển từ một miền sang miền khác được gọi là biến đổi. Để thay đổi miền của tín hiệu từ thời gian sang tần số, chúng ta có nhiều công cụ. Chuỗi Fourier và Biến đổi Fourier là hai trong số các công cụ mà chúng ta phân rã tín hiệu thành các hàm sin liên quan hài hòa. Với sự phân rã như vậy, tín hiệu được cho là được biểu diễn trong miền tần số.
Hầu hết các tín hiệu thực tế có thể được phân rã thành các hàm sin. Sự phân rã của các tín hiệu chu kỳ được gọi là chuỗi Fourier.

Phân tích Tần số

Cũng giống như ánh sáng trắng có thể được phân rã thành bảy màu, tín hiệu chu kỳ cũng có thể được phân rã thành tổng tuyến tính của các tần số liên quan hài hòa. Tổng tuyến tính của các hàm sin hoặc hàm mũ phức liên quan hài hòa này được gọi là chuỗi Fourier hoặc biến đổi Fourier. Nói chung, việc phân rã bất kỳ tín hiệu nào thành các thành phần tần số liên quan được gọi là phân tích tần số. Cũng như việc phân tích ánh sáng thành màu sắc thực chất là một dạng phân tích tần số, vì vậy chuỗi Fourier và biến đổi Fourier cũng là các công cụ phân tích tần số.

Điều này có thể rõ ràng hơn từ ví dụ sau.
Giả sử nếu chúng ta truyền ánh sáng qua một lăng kính, nó sẽ được phân tách thành bảy màu VIBGYOR. Mỗi màu có một tần số cụ thể hoặc một dải tần số. Tương tự, nếu chúng ta truyền tín hiệu chu kỳ qua một công cụ Fourier, đóng vai trò như lăng kính, tín hiệu sẽ được phân rã thành chuỗi Fourier.

So sánh Tín hiệu và Vectơ

Một vectơ N chiều cần N chiều để biểu diễn. Giống như một con kiến di chuyển trên bàn cần hai chiều để biểu diễn vị trí của nó trên bàn, tức là x và y. Chúng ta cũng quen thuộc với hệ tọa độ i, j, k để biểu diễn vectơ trong ba chiều. Các vectơ đơn vị i, j và k này vuông góc với nhau. Tương tự, nếu chúng ta coi tín hiệu như một vectơ đa chiều, chúng ta cần nhiều chiều hơn nữa, các chiều này vuông góc với nhau. Đó là tài năng của J. B. J. Fourier đã phát minh ra các chiều đa chiều, các chiều này vuông góc với nhau. Đó là các hàm sin với các hàm sin liên quan hài hòa hoặc hàm mũ phức. Xem xét các chiều (còn gọi là cơ sở)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Vì vậy, tất cả sinnω0t đều vuông góc với Sinmω0t (n≠m) và do đó, chúng ta có thể sử dụng sinω0t, sin2ω0t… ∞ làm các chiều chính (còn gọi là cơ sở) để biểu diễn tín hiệu chu kỳ. Tương tự, chúng ta cũng có thể sử dụng cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ làm các chiều bổ sung khi các chiều sinω0t không thể sử dụng. Chúng ta sẽ thấy rằng đối với tín hiệu chẵn chỉ có các hạng tử cosin là phù hợp và đối với tín hiệu lẻ chỉ có các hạng tử sin là phù hợp. Đối với tín hiệu chu kỳ không phải là chẵn cũng không phải lẻ, chúng ta sử dụng cả hai hạng tử sin và cosin.

LƯU Ý
Chỉ có tín hiệu chu kỳ mới có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier nếu tín hiệu tuân theo điều kiện Dirichlet. Đối với tín hiệu không chu kỳ, chúng ta có công cụ biến đổi Fourier để chuyển tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số.
Quá trình phân rã tín hiệu thành các tần số liên quan hài hòa được gọi là phân tích Fourier trong khi quá trình ngược lại, tức là tái kết hợp, được gọi là hợp thành Fourier.

Điều kiện Dirichlet

x (t) tuyệt đối khả tích trong bất kỳ chu kỳ nào, nghĩa là,

x (t) có số lượng cực đại và cực tiểu hữu hạn trong bất kỳ khoảng t hữu hạn nào.
x (t) có số lượng điểm gián đoạn hữu hạn trong bất kỳ khoảng t hữu hạn nào, và mỗi điểm gián đoạn này là hữu hạn.
Lưu ý rằng các điều kiện Dirichlet là điều kiện đủ nhưng không phải là điều kiện cần thiết cho biểu diễn chuỗi Fourier.

Tuyên bố: Hãy tôn trọng bản gốc, các bài viết tốt đáng được chia sẻ, nếu có vi phạm quyền tác giả vui lòng liên hệ để xóa.