ফুরিয়ে সিরিজ এবং ফুরিয়ে ট্রান্সফর্ম

সময় ডোমেনে সব সময় পর্যাপ্ত তথ্য থাকে না। এটি আমাদের সিগনালের ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে যাওয়ার জন্য বাধ্য করে যাতে সিগনাল সম্পর্কে আরও তথ্য পাওয়া যায়। একটি ডোমেন থেকে অন্য ডোমেনে এই পরিবর্তনকে রূপান্তর বলা হয়। সিগনালের ডোমেন সময় থেকে ফ্রিকোয়েন্সিতে পরিবর্তন করার জন্য আমাদের অনেক সরঞ্জাম আছে। ফুরিয়ার সিরিজ এবং ফুরিয়ার ট্রান্সফরম হল দুটি সরঞ্জাম, যাতে আমরা সিগনালটিকে হারমোনিকভাবে সম্পর্কিত সাইনাসয়েডে ভেঙে ফেলি। এই ভাঙার সাথে, একটি সিগনাল ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে প্রতিনিধিত্ব করা হয়।
অধিকাংশ প্রায়শই ব্যবহৃত সিগনালগুলিকে সাইনাসয়েডে ভেঙে ফেলা যায়। এই ধরনের পর্যায়বদ্ধ সিগনালের বিশ্লেষণকে ফুরিয়ার সিরিজ বলা হয়।

ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণ

সাদা আলোক যেমন সাতটি রঙে ভেঙে যায়, তেমনি একটি পর্যায়বদ্ধ সিগনাল হারমোনিকভাবে সম্পর্কিত ফ্রিকোয়েন্সিতে লিনিয়ার ওজনযুক্ত যোগফলে ভেঙে যায়। এই হারমোনিকভাবে সম্পর্কিত সাইনাসয়েড বা জটিল এক্সপোনেনশিয়ালের লিনিয়ার ওজনযুক্ত যোগফলকে ফুরিয়ার সিরিজ বা ট্রান্সফরম বলা হয়। সাধারণভাবে, যেকোনো সিগনালকে তার ফ্রিকোয়েন্সি সম্পর্কিত উপাদানে বিশ্লেষণ করাকে ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণ বলা হয়। আলোকে রঙে বিশ্লেষণ করা আসলে ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণের একটি রূপ, তাই ফুরিয়ার সিরিজ এবং ফুরিয়ার ট্রান্সফরম ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণের সরঞ্জামও হয়।

এটি নিম্নলিখিত থেকে আরও স্পষ্ট হবে।
ধরুন আমরা একটি আলোক প্রিজম দিয়ে পাঠাই, তাহলে এটি সাতটি রঙ VIBGYOR-এ ভেঙে যায়। প্রতিটি রঙের একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি বা ফ্রিকোয়েন্সির একটি পরিসর থাকে। একইভাবে, যদি আমরা একটি পর্যায়বদ্ধ সিগনাল ফুরিয়ার সরঞ্জাম দিয়ে পাঠাই, যা প্রিজমের ভূমিকা পালন করে, তাহলে সিগনালটি ফুরিয়ার সিরিজে ভেঙে যায়।

সিগনাল এবং ভেক্টর অনুরূপতা

একটি N মাত্রার ভেক্টরের প্রতিনিধিত্বের জন্য N মাত্রা প্রয়োজন। যেমন একটি টেবিলে একটি পিঁপড়া যখন চলে, তখন তার অবস্থান প্রতিনিধিত্বের জন্য x এবং y দুটি মাত্রা প্রয়োজন। আমরা i, j, k স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিন মাত্রায় ভেক্টর প্রতিনিধিত্ব করার সাথে পরিচিত। এই একক ভেক্টর i, j এবং k পরস্পর লম্ব। একইভাবে, যদি আমরা একটি সিগনালকে একটি বহুমাত্রিক ভেক্টর হিসেবে বিবেচনা করি, তাহলে আমাদের পরস্পর লম্ব অনেক মাত্রা প্রয়োজন। J. B. J. Fourier-এর প্রতিভা ছিল এই পরস্পর লম্ব বহুমাত্রার উদ্ভাবন, যা হারমোনিকভাবে সম্পর্কিত সাইনাসয়েড বা জটিল এক্সপোনেনশিয়াল। মাত্রাগুলি (যাকে বেসও বলা হয়)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
তাই, সব sinnω0t Sinmω0t (n≠m) এর সাথে লম্ব এবং আমরা সুতরাং sinω0t, sin2ω0t… ∞ এর মাধ্যমে একটি পর্যায়বদ্ধ সিগনাল প্রকাশ করতে পারি। একইভাবে, আমরা যখন sinω0t মাত্রাগুলি ব্যবহার করতে পারি না, তখন cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ এর মাধ্যমে অতিরিক্ত মাত্রা ব্যবহার করতে পারি। আমরা দেখব যে এমন সিগনালের জন্য শুধুমাত্র কোসাইন পদগুলি উপযুক্ত হবে এবং বিজোড় সিগনালের জন্য শুধুমাত্র সাইন পদগুলি উপযুক্ত হবে। একটি পর্যায়বদ্ধ সিগনাল যা না বিজোড় না জোড়, তার জন্য আমরা সাইন এবং কোসাইন উভয় পদ ব্যবহার করি।

নোট
শুধুমাত্র পর্যায়বদ্ধ সিগনালগুলিকে ফুরিয়ার সিরিজ হিসেবে প্রতিনিধিত্ব করা যায়, যদি সিগনালটি Dirichlet’s শর্তগুলি মেনে চলে। অপর্যায়বদ্ধ সিগনালের জন্য, আমাদের ফুরিয়ার ট্রান্সফরম সরঞ্জাম আছে, যা সিগনালটিকে সময় ডোমেন থেকে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে রূপান্তর করে।
সিগনালের হারমোনিকভাবে সম্পর্কিত ফ্রিকোয়েন্সিতে বিশ্লেষণকে ফুরিয়ার বিশ্লেষণ বলা হয়, যেখানে বিপরীত অর্থাৎ পুনর্গঠনকে ফুরিয়ার সিন্থেসিস বলা হয়।

Dirichlet’s শর্তগুলি

x (t) যেকোনো পর্যায়ে সম্পূর্ণরূপে সমাকলনযোগ্য, অর্থাৎ,

x (t) যেকোনো সসীম সময় ব্যবধানে সসীম সংখ্যক সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মান রয়েছে।
x (t) যেকোনো সসীম সময় ব্যবধানে সসীম সংখ্যক বিচ্ছিন্নতা রয়েছে, এবং প্রতিটি বিচ্ছিন্নতা সসীম।
নোট করুন যে Dirichlet’s শর্তগুলি ফুরিয়ার সিরিজ প্রতিনিধিত্বের যথেষ্ট কিন্তু অপরিহার্য শর্ত নয়।

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.