फुरिये श्रेणी र फुरिये रूपान्तरण

कहिलो समय डोमेन मा उपलब्ध सबै जानकारी पर्याप्त छैन। यसले हामीलाई सिग्नलको आवृत्ति डोमेनमा जान लाग्छ ताकि सिग्नलबारे थप जानकारी प्राप्त गर्न सकिन्छ। यो एक डोमेनबाट अर्को डोमेनमा जाने कार्यलाई रूपान्तरण भनिन्छ। सिग्नलको डोमेनलाई समयबाट आवृत्तिमा परिवर्तन गर्न हामीलाई धेरै उपकरणहरू छन्। फुरिये श्रेणी र फुरिये रूपान्तरण दुई उपकरणहरू हुन् जहाँ हामी सिग्नललाई ध्वनिमय रूपमा सम्बन्धित ध्वनिहरूमा विघटित गर्छौं। यस विघटनले, सिग्नललाई आवृत्ति डोमेनमा प्रतिनिधित्व गरिन्छ।
धेरै व्यावहारिक सिग्नलहरूलाई ध्वनिहरूमा विघटित गर्न सकिन्छ। यस जातको आवर्ती सिग्नलहरूको विघटनलाई फुरिये श्रेणी भनिन्छ।

आवृत्ति विश्लेषण

सफेद प्रकाशलाई सात रंगमा विघटित गर्न सकिन्छ, त्यस्तै एउटा आवर्ती सिग्नललाई ध्वनिमय रूपमा सम्बन्धित आवृत्तिहरूमा विघटित गर्न सकिन्छ। यस ध्वनिमय रूपमा सम्बन्धित ध्वनिहरू वा जटिल चरघातांकीको रैखिक भारित योगलाई फुरिये श्रेणी वा रूपान्तरण भनिन्छ। सामान्यतया, कुनै सिग्नललाई आवृत्ति सम्बन्धित घटकहरूमा विघटित गर्ने कार्यलाई आवृत्ति विश्लेषण भनिन्छ। प्रकाशलाई रंगमा विश्लेषण गर्ने वास्तवमा एउटा आवृत्ति विश्लेषणको रूप हो, त्यसैले फुरिये श्रेणी र फुरिये रूपान्तरण पनि आवृत्ति विश्लेषणका उपकरणहरू हुन्।

यो निम्न उदाहरणले बारेमा स्पष्ट छ।
यदि हामी एउटा प्रकाशलाई प्रिज्ममा पार गराउँछौं, यसले सात रंग VIBGYORमा विघटित हुन्छ। प्रत्येक रंगले एउटा विशिष्ट आवृत्ति वा आवृत्तिको एउटा विस्तार छ। त्यसैले, यदि हामी एउटा आवर्ती सिग्नललाई फुरिये उपकरणमा पार गराउँछौं, जो प्रिज्मको भूमिका खेल्छ, त्यसले सिग्नललाई फुरिये श्रेणीमा विघटित गर्छ।

सिग्नल र सदिशको अनुरूपता

एक N आयामी सदिशको प्रतिनिधित्वको लागि N आयाम आवश्यक छ। जस्तै एउटा टेबलमा चढ्दो एउटा पिँडलाई टेबलमा उसको स्थिति प्रतिनिधित्व गर्न x र y दुई आयाम आवश्यक छ। त्यसैले हामी i, j, k निर्देशांक प्रणालीसँग तीन आयाममा सदिश प्रतिनिधित्व गर्न जान्छौं। यी एकाइ सदिश i, j र k एकाइहरू एक दूस्रोसँग लाम्बिक छन्। त्यसैले यदि हामी एउटा सिग्नललाई बहुआयामी सदिशको रूपमा गर्छौं तब हामीलाई एकाइहरू जुन एक दूस्रोसँग लाम्बिक छन् त्यो आवश्यक छ। यो J. B. J. Fourierको जेनियस थियो जसले लाम्बिक एकाइहरू आविष्कार गर्यो। यी ध्वनिमय रूपमा सम्बन्धित ध्वनिहरू वा जटिल चरघातांकीहरू हुन्। एकाइहरू (यसलाई आधारहरू पनि भनिन्छ)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
त्यसैले, सबै sinnω0t ले Sinmω0t (n≠m) सँग लाम्बिक छन् र हामी अत्यन्त आवर्ती सिग्नल प्रतिनिधित्व गर्न sinω0t, sin2ω0t… ∞ लाई आधार रूपमा प्रयोग गर्छौं। त्यसैले, हामी cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ लाई पनि अतिरिक्त आयाम रूपमा प्रयोग गर्छौं जब sinω0t आयामहरू प्रयोग गर्न सकिँदैन। हामी देख्नेछौं जो सम सिग्नलको लागि केवल कोसाइन शब्दहरू उपयुक्त छन् र विषम सिग्नलको लागि केवल साइन शब्दहरू उपयुक्त छन्। एउटा आवर्ती सिग्नल जो न त सम न विषम, हामी दुवै साइन र कोसाइन शब्दहरू प्रयोग गर्छौं।

नोट
केवल आवर्ती सिग्नलहरूलाई फुरिये श्रेणी रूपमा प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ यदि सिग्नल डीरिचलेट्स शर्तहरूलाई पालन गर्छ। अनावर्ती सिग्नलहरूको लागि, हामीलाई फुरिये रूपान्तरण उपकरण छ जसले सिग्नललाई समय डोमेनबाट आवृत्ति डोमेनमा रूपान्तरण गर्छ।
सिग्नललाई ध्वनिमय रूपमा सम्बन्धित आवृत्तिहरूमा विघटित गर्ने कार्यलाई फुरिये विश्लेषण भनिन्छ जबकि विपरीत अर्थात् पुनर्मिलनलाई फुरिये संश्लेषण भनिन्छ।

डीरिचलेट्स शर्तहरू

x (t) कुनै एक अवधिमा निरपेक्ष रूपमा समाकलनीय छ, यो अर्थ छ,

x (t) कुनै एक सीमित अवधिमा t को भित्र निर्दिष्ट संख्या मा उच्चिष्ठ र निम्निष्ठ छ।
x (t) कुनै एक सीमित अवधिमा t को भित्र निर्दिष्ट संख्या मा असंततता छ, र यी असंततताहरू सीमित छन्।
नोट गर्नुहोस् कि डीरिचलेट्स शर्तहरू फुरिये श्रेणी प्रतिनिधित्वको लागि पर्याप्त छन् तर आवश्यक छैन।

थप: मूल सम्मान गर्नुहोस्, राम्रो अनुच्छेद साझा गर्न योग्य छ, यदि अधिकार उल्लंघन भएको छ&