Ряд Фурье и преобразование Фурье

Иногда информации во временной области недостаточно. Это заставляет нас переходить в частотную область сигнала для извлечения дополнительной информации о сигнале. Этот переход от одной области к другой называется преобразованием. Для изменения области сигнала от времени к частоте у нас есть много инструментов. Ряд Фурье и Преобразование Фурье — это два из таких инструментов, с помощью которых мы разлагаем сигнал на гармонически связанные синусоиды. С таким разложением сигнал считается представленным в частотной области.
Большинство практических сигналов можно разложить на синусоиды. Такое разложение периодических сигналов называется рядом Фурье.

Частотный анализ

Так же, как белый свет можно разложить на семь цветов, периодический сигнал также можно разложить на линейно взвешенную сумму гармонически связанных частот. Эта линейная взвешенная сумма гармонически связанных синусоид или комплексных экспонент известна как Ряд Фурье или Преобразование Фурье. В общем, разложение любого сигнала на его частотные компоненты называется частотным анализом. Анализ света на цвета фактически является формой частотного анализа, поэтому ряд Фурье и преобразование Фурье также являются инструментами частотного анализа.

Это станет более понятным из следующего.
Предположим, если мы пропустим свет через призму, он распадется на семь цветов VIBGYOR. Каждый цвет имеет определенную частоту или диапазон частот. Точно так же, если мы пропустим периодический сигнал через инструмент Фурье, который играет роль призмы, сигнал разлагается на ряд Фурье.

Аналогия между сигналами и векторами

Для представления N-мерного вектора требуется N измерений. Например, муравей, движущийся по столу, нуждается в двух измерениях для представления своего положения на столе, то есть x и y. Также мы знакомы с координатной системой i, j, k для представления вектора в трех измерениях. Эти единичные векторы i, j и k ортогональны друг другу. Аналогично, если рассматривать сигнал как многомерный вектор, нам нужны многие другие измерения, которые ортогональны друг другу. Именно гениальность Ж. Б. Ж. Фурье позволила изобрести многомерные измерения, которые ортогональны друг другу. Это синусоиды с гармонически связанными синусоидами или комплексными экспонентами. Рассмотрим измерения (также называемые базисами)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Таким образом, все sinnω0t ортогональны Sinmω0t (n≠m), и мы, следовательно, можем использовать sinω0t, sin2ω0t… ∞ в качестве основных измерений (также называемых базисами) для выражения периодического сигнала. Аналогично, мы также можем использовать cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ в качестве дополнительных измерений, когда измерения sinω0t не могут быть использованы. Мы увидим, что для четных сигналов подойдут только косинусные члены, а для нечетных сигналов — только синусные члены. Для периодического сигнала, который ни четный, ни нечетный, мы используем как синусные, так и косинусные члены.

ЗАМЕЧАНИЕ
Только периодические сигналы могут быть представлены в виде ряда Фурье, при условии, что сигнал удовлетворяет условиям Дирихле. Для непериодических сигналов у нас есть инструмент преобразования Фурье, который преобразует сигнал из временной области в частотную область.
Разрешение сигнала на его гармонически связанные частоты известно как анализ Фурье, а обратное, то есть рекомбинация, известно как синтез Фурье.

Условия Дирихле

x(t) абсолютно интегрируема в любом периоде, то есть,

x(t) имеет конечное число максимумов и минимумов в любом конечном интервале t.
x(t) имеет конечное число разрывов в любом конечном интервале t, и каждый из этих разрывов конечен.
Заметьте, что условия Дирихле являются достаточными, но не необходимыми условиями для представления ряда Фурье.

Заявление: Уважайте оригинал, хорошие статьи стоят того, чтобы ими делиться, если есть нарушение авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.