Ряд Фур'є та перетворення Фур'є

Іноді всі дані в часовій області недостатні. Це змушує нас переходити до частотної області сигналу для отримання більшої інформації про сигнал. Такий перехід з однієї області в іншу називається перетворенням. Для зміни області сигналу з часової на частотну у нас є багато інструментів. Ряд Фур'є та перетворення Фур'є - це два із таких інструментів, за допомогою яких ми розкладаємо сигнал на гармонічно пов'язані синусоїди. З таким розкладом, сигнал вважається представленим у частотній області.
Більшість практичних сигналів можна розкласти на синусоїди. Такий розклад періодичних сигналів називається рядом Фур'є.

Аналіз частот

Так само, як білий світло можна розкласти на сім кольорів, періодичний сигнал також можна розкласти на лінійну ваговану суму гармонічно пов'язаних частот. Ця лінійна вагована сума гармонічно пов'язаних синусоїд або комплексних експонент називається рядом Фур'є або перетворенням Фур'є. Загалом, розклад будь-якого сигналу на його частотно пов'язані компоненти називається аналізом частот. Як аналіз світла на кольори є формою аналізу частот, так ряд Фур'є та перетворення Фур'є також є інструментами аналізу частот.

Це стане зрозумілішим з наступного.
Допустим, якщо ми пропустимо світло через призму, воно розпадеться на сім кольорів VIBGYOR. Кожен колір має певну частоту або діапазон частот. Аналогічно, якщо ми пропустимо періодичний сигнал через інструмент Фур'є, який відіграє роль призми, сигнал буде розкладено на ряд Фур'є.

Аналогія сигналів та векторів

N-вимірний вектор потребує N вимірів для своєї представлення. Наприклад, мураха, яка рухається по столу, потребує двох вимірів для представлення своєї позиції на столі, тобто x та y. Також ми знайомі з системою координат i, j, k для представлення вектора в трьох вимірах. Ці одиничні вектори i, j та k ортогональні один одному. Аналогічно, якщо ми будемо вважати сигнал багатовимірним вектором, нам потрібно буде багато більше вимірів, які ортогональні один одному. Це був геній J. B. J. Фур'є, який винайшов багато вимірів, які ортогональні один одному. Це синусоїди з гармонічно пов'язаними синусоїдами або комплексними експонентами. Розглянемо виміри (також називаються базисами)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Отже, всі sinnω0t ортогональні з Sinmω0t (n≠m) і ми, отже, можемо використовувати sinω0t, sin2ω0t… ∞ як основні виміри (також називаються базисами) для вираження періодичного сигналу. Аналогічно, ми також можемо використовувати cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ як додаткові виміри, коли виміри sinω0t не можуть бути використані. Ми побачимо, що для парних сигналів будуть підходящими лише косинусні члени, а для непарних сигналів - лише синусні члени. Для періодичного сигналу, який не є ні парним, ні непарним, ми використовуємо обидва синусні та косинусні члени.

ПРИМІТКА
Лише періодичні сигнали можна представити у вигляді ряду Фур'є, за умови, що сигнал задовольняє умови Діріхле. Для неперіодичних сигналів ми маємо інструмент перетворення Фур'є, який перетворює сигнал з часовій області в частотну.
Розкладання сигналу на його гармонічно пов'язані частоти називається аналізом Фур'є, а обернене, тобто рекомбінація, називається синтезом Фур'є.

Умови Діріхле

x(t) абсолютно інтегрований за будь-який період, тобто,

x(t) має скінчену кількість максимумів та мінімумів в будь-якому скінченному інтервалі t.
x(t) має скінчену кількість розривів в будь-якому скінченному інтервалі t, і кожен із цих розривів є скінченним.
Зверніть увагу, що умови Діріхле є достатніми, але не необхідними умовами для представлення ряду Фур'є.

Заява: Поважайте оригінал, добре написані статті варті поширення, якщо є порушення авторських прав, зверніться для видалення.