Serie de Fourier y Transformada de Fourier
A veces, toda la información en el dominio del tiempo no es suficiente. Esto nos lleva a pasar al dominio de la frecuencia de la señal para extraer más información sobre la misma. Este movimiento de un dominio a otro se conoce como transformación. Para cambiar el dominio de la señal del tiempo a la frecuencia, tenemos muchas herramientas. Serie de Fourier y Transformada de Fourier son dos de las herramientas en las que descomponemos la señal en senoides relacionados armónicamente. Con tal descomposición, se dice que una señal está representada en el dominio de la frecuencia.
La mayoría de las señales prácticas pueden descomponerse en senoides. Tal descomposición de señales periódicas se llama Serie de Fourier.
Análisis de Frecuencia
Al igual que una luz blanca puede descomponerse en siete colores, una señal periódica también puede descomponerse en una suma ponderada lineal de frecuencias relacionadas armónicamente. Esta suma ponderada lineal de senoides o exponenciales complejas relacionadas armónicamente se conoce como Serie de Fourier o Transformada de Fourier. En general, la descomposición de cualquier señal en sus componentes relacionados con la frecuencia se llama análisis de frecuencia. Al igual que el análisis de una luz en colores es, en realidad, una forma de análisis de frecuencia, la serie de Fourier y la transformada de Fourier también son herramientas de análisis de frecuencia.
Esto puede quedar más claro con lo siguiente.
Supongamos que pasamos una luz a través de un prisma, se divide en siete colores VIBGYOR. Cada color tiene una frecuencia particular o un rango de frecuencias. De la misma manera, si pasamos una señal periódica a través de una herramienta de Fourier, que juega el papel de prisma, la señal se descompone en una serie de Fourier.
Analogía entre Señales y Vectores
Un vector de N dimensiones necesita N dimensiones para su representación. Como una hormiga que se mueve sobre una mesa necesita dos dimensiones para la representación de su posición en la mesa, es decir, x e y. También estamos familiarizados con el sistema de coordenadas i, j, k para la representación de un vector en tres dimensiones. Estos vectores unitarios i, j y k son ortogonales entre sí. De la misma manera, si tratamos una señal como un vector multidimensional, necesitamos muchas más dimensiones que sean ortogonales entre sí. Fue el genio de J. B. J. Fourier quien inventó múltiples dimensiones, que son ortogonales entre sí. Estos son senoides con senoides relacionados armónicamente o exponenciales complejas. Consideremos las dimensiones (también llamadas bases)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Así, todos los sinnω0t son ortogonales con Sinmω0t (n≠m) y, por lo tanto, podemos usar sinω0t, sin2ω0t… ∞ como las dimensiones primarias (también llamadas bases) para expresar una señal periódica. Del mismo modo, también podemos usar cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ como las dimensiones adicionales cuando no se puedan usar las dimensiones sinω0t. Veremos que para las señales pares solo serán adecuados los términos coseno y para las señales impares solo los términos seno. Para una señal periódica que no sea ni par ni impar, usamos tanto términos seno como coseno.
NOTA
Solo las señales periódicas pueden representarse como series de Fourier, siempre que la señal cumpla las condiciones de Dirichlet. Para señales no periódicas, tenemos la herramienta de transformada de Fourier, que transforma la señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.
La resolución de la señal en sus frecuencias relacionadas armónicamente se conoce como Análisis de Fourier, mientras que lo inverso, es decir, la recombinación, se conoce como Síntesis de Fourier.
Condiciones de Dirichlet
x (t) es absolutamente integrable en cualquier período, es decir,
x (t) tiene un número finito de máximos y mínimos dentro de cualquier intervalo finito de t.
x (t) tiene un número finito de discontinuidades dentro de cualquier intervalo finito de t, y cada una de estas discontinuidades es finita.
Nota que las condiciones de Dirichlet son suficientes pero no necesarias para la representación de la serie de Fourier.
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