Ֆուրիեի շարք և Ֆուրիեի ձևափոխություն

fois ժամանակի տիրույթում բոլոր տեղեկությունները բավարար չեն։ Այս դեպքում մենք հաճախ անցնում ենք հաճախականության տիրույթ, որպեսզի ավելի շատ տեղեկություն ստանանք աղյուսակի մասին։ Այս անցումը մի տիրույթից մյուսը կոչվում է ձևափոխություն։ Ժամանակի տիրույթից հաճախականության տիրույթ անցնելու համար մենք ունենք շատ գործիքներ։ Ֆուրիե շարք և Ֆուրիե ձևափոխություն երկու գործիքներ են, որոնց օգնությամբ աղյուսակը վերլուծում ենք համարյա կապված սինուսոիդների։ Այսպիսով, աղյուսակը ասում ենք, որ ներկայացված է հաճախականության տիրույթում։
Մի շարք պրակտիկ աղյուսակներ կարող են վերլուծվել սինուսոիդների։ Այսպիսի պարբերական աղյուսակների վերլուծությունը կոչվում է Ֆուրիե շարք։

Հաճախականության անալիզ

Ինչպես սպիտակ լույսը կարող է վերլուծվել յոթ գույների, այնպես էլ պարբերական աղյուսակը կարող է վերլուծվել համարյա կապված հաճախականությունների գծային կշռված գումարի։ Այս գծային կշռված համարյա կապված սինուսոիդների կամ կոմպլեքս էքսպոնենցիալների գումարը կոչվում է Ֆուրիե շարք կամ ձևափոխություն։ Ընդհանուր առմամբ, աղյուսակը վերլուծելու հաճախականությունների կապված բաղադրիչների ներկայացումը կոչվում է հաճախականության անալիզ։ Որպես օրինակ, լույսը վերլուծել գույների համար իրոք հաճախականության անալիզ է, ուրեմն Ֆուրիե շարքը և Ֆուրիե ձևափոխությունը նույնպես հաճախականության անալիզի գործիքներ են։

Սա ավելի պարզ կլինի հետևյալից։
Եթե մենք լույսը անցնում ենք պրիզմով, այն բաժանվում է յոթ գույնի։ Յուրաքանչյուր գույն ունի մի որոշակի հաճախականություն կամ հաճախականությունների շրջանակ։ Նույն ձևով, եթե մենք պարբերական աղյուսակը անցնում ենք Ֆուրիե գործիքով, որը պրիզմի դերը կատարում է, աղյուսակը վերլուծվում է Ֆուրիե շարք։

Սիգնալների և վեկտորների անալոգիա

N չափանի վեկտորը պետք է N չափանի համար ներկայացվի։ Օրինակ, մի կիրառակ աղյուսակի վրա շարժվող մի միջակայքում պետք է ներկայացվի երկու չափանի համար, այսինքն x և y։ Նաև մենք ծանոթ ենք i, j, k կոորդինատային համակարգի վեկտորի ներկայացման երեք չափանի համակարգում։ Այս միավոր վեկտորները i, j և k օրթոգոնալ են միմյանց։ Նույն ձևով, եթե մենք սիգնալը դիտարկենք որպես բազմաչափ վեկտոր, մենք պետք է ներկայացնենք շատ ավելի շատ չափանի համակարգ, որոնք օրթոգոնալ են միմյանց։ Ֆուրիեի գենիալությունը նախատեսել է բազմաչափ համակարգ, որոնք օրթոգոնալ են միմյանց։ Այս սինուսոիդներն են համարյա կապված սինուսոիդներ կամ կոմպլեքս էքսպոնենցիալներ։ Դիտարկենք չափանի (նաև կոչվում են բազիսներ)
sinω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ……..sinnω0t
cosω0t cos2ω0t cos3ω0t cos4ω0t……..cosnω0t
Այսպիսով, բոլոր sinnω0t-ները օրթոգոնալ են Sinmω0t-ի (n≠m) և մենք կարող ենք օգտագործել sinω0t, sin2ω0t… ∞ որպես հիմնական չափանի (նաև կոչվում են բազիսներ) պարբերական աղյուսակը ներկայացնելու համար։ Նմանապես, մենք կարող ենք նաև օգտագործել cosω0t, cos2ω0t, cos3ω0t… ∞ որպես ավելորդ չափանի, երբ sinω0t չափանիները չեն կիրառվում։ Մենք կտեսնենք, որ նույնիսկ սիգնալների համար միայն կոսինուսային տերմինները կլինեն համապատասխան, իսկ կենտ սիգնալների համար միայն սինուսային տերմինները կլինեն համապատասխան։ Պարբերական սիգնալների համար ոչ կենտ և ոչ զույգ, մենք օգտագործում ենք և սինուսային և կոսինուսային տերմիններ։

ՆՈՏԱ
Միայն պարբերական սիգնալները կարող են ներկայացվել Ֆուրիե շարքով, եթե սիգնալը համապատասխանում է Դիրիխլեի պայմաններին։ Ոչ պարբերական սիգնալների համար մենք ունենք Ֆուրիե ձևափոխության գործիք, որը ձևափոխում է սիգնալը ժամանակի տիրույթից հաճախականության տիրույթ։
Սիգնալի վերլուծությունը համարյա կապված հաճախականությունների ներկայացումը կոչվում է Ֆուրիեի անալիզ, իսկ հակառակը, այսինքն կոմպոնենտների վերամիավորումը, կոչվում է Ֆուրիեի սինթեզ։

Դիրիխլեի պայմանները

x (t) բացարձակ ինտեգրելի է ցանկացած պարբերության համար, այսինքն,

x (t) ունի վերջավոր քանակություն մաքսիմումներ և մինիմումներ ցանկացած վերջավոր միջակայքում t-ի համար։
x (t) ունի վերջավոր քանակություն խզումներ ցանկացած վերջավոր միջակայքում t-ի համար, և յուրաքանչյուր այդ խզումները վերջավոր են։
Նշենք, որ Դիրիխլեի պայմանները բավարար են, բայց անհրաժեշտ պայմաններ չեն Ֆուրիե շարքի ներկայացման համար։

特别声明：尊重原创，好文章值得分享，如有侵权请联系删除。