ਰਾਊਥ ਹੁਰਵਿਟਜ ਸਥਿਰਤਾ ਮਾਪਦੰਡ
نیٹ ورک سنتھیسیس کے نظریہ کو پڑھنے کے بعد، ہم آسانی سے کہ سکتے ہیں کہ اگر کسی نظام کا کوئی قطب s-پلین کے مبدا کے دائیں طرف واقع ہوتا ہے تو یہ نظام غیر استحکامی ہوتا ہے۔ اس شرط کے بنیاد پر A. Hurwitz اور E.J.Routh نے نظام کی استحکام کے لازمی اور کافی شرائط کی تحقیق شروع کی۔ ہم نظام کی استحکام کے لیے دو معیاریں بحث کریں گے۔ پہلا معیار A. Hurwitz کی طرف سے دیا گیا ہے اور یہ معیار Hurwitz استحکام کا معیار یا Routh Hurwitz (R-H) استحکام کا معیار کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔
Hurwitz استحکام کا معیار
خصوصی مساوات کی مدد سے ہم نظام کی استحکام کو معلوم کرنے کے لیے کچھ Hurwitz تعین کنندہ بنائیں گے۔ ہم نظام کی خصوصی مساوات کو درج ذیل طور پر تعریف کرتے ہیں
اب nویں درجہ کی خصوصی مساوات کے لیے n تعین کنندہ ہوتے ہیں۔
چلو ہم دیکھیں کہ ہم خصوصی مساوات کے ضرائب سے کیسے تعین کنندہ بناسکتے ہیں۔ kویں درجہ کی خصوصی مساوات کے لیے مرحلہ وار طریقہ عمل درج ذیل ہے:
تعین کنندہ ایک : اس تعین کنندہ کی قدر |a1| دی گئی ہے جہاں a1 خصوصی مساوات میں sn-1 کا ضریب ہے۔
تعین کنندہ دو : اس تعین کنندہ کی قدر درج ذیل طور پر دی گئی ہے
ہر قطار میں عنصر کی تعداد تعین کنندہ کی تعداد کے برابر ہوتی ہے اور یہاں ہمارا تعین کنندہ کی تعداد دو ہے۔ پہلی قطار میں پہلے دو غیر جفت ضرائب شامل ہوتے ہیں اور دوسری قطار میں پہلے دو جفت ضرائب شامل ہوتے ہیں۔
تعین کنندہ تین : اس تعین کنندہ کی قدر درج ذیل طور پر دی گئی ہے
ہر قطار میں عنصر کی تعداد تعین کنندہ کی تعداد کے برابر ہوتی ہے اور یہاں ہمارا تعین کنندہ کی تعداد تین ہے۔ پہلی قطار میں پہلے تین غیر جفت ضرائب شامل ہوتے ہیں، دوسری قطار میں پہلے تین جفت ضرائب شامل ہوتے ہیں اور تیسری قطار میں پہلا عنصر صفر ہوتا ہے اور باقی دو عناصر پہلے دو غیر جفت ضرائب ہوتے ہیں۔
تعین کنندہ چار: اس تعین کنندہ کی قدر درج ذیل طور پر دی گئی ہے،
ہر قطار میں عنصر کی تعداد تعین کنندہ کی تعداد کے برابر ہوتی ہے اور یہاں ہمارا تعین کنندہ کی تعداد چار ہے۔ پہلی قطار میں پہلے چار ضرائب شامل ہوتے ہیں، دوسری قطار میں پہلے چار جفت ضرائب شامل ہوتے ہیں، تیسری قطار میں پہلا عنصر صفر ہوتا ہے اور باقی تین عناصر پہلے تین غیر جفت ضرائب ہوتے ہیں اور چوتھی قطار میں پہلا عنصر صفر ہوتا ہے اور باقی تین عناصر پہلے تین جفت ضرائب ہوتے ہیں۔
ایک ہی طریقہ کار کو فروغ دے کر ہم تعین کنندہ کی تشکیل کو عام کر سکتے ہیں۔ تعین کنندہ کی عام شکل درج ذیل ہے:
اب اس نظام کی استحکام کو جانچنے کے لیے، ہر تعین کنندہ کی قدر کا حساب لگائیں۔ نظام صرف اسی صورت میں استحکامی ہوگا جبکہ ہر تعین کنندہ کی قدر صفر سے زیادہ ہو، یعنی ہر تعین کنندہ کی قدر مثبت ہونی چاہئے۔ تمام دیگر صورتوں میں نظام استحکامی نہیں ہوگا۔
Routh استحکام کا معیار
یہ معیار نظام کی استحکام کے لیے معدّل Hurwitz معیار کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ ہم اس معیار کو دو حصوں میں مطالعہ کریں گے۔ پہلا حصہ نظام کی استحکام کے لیے ضروری شرائط کو کاوش کرے گا اور دوسرا حصہ نظام کی استحکام کے لیے کافی شرائط کو کاوش کرے گا۔ چلو دوبارہ نظام کی خصوصی مساوات کو درج ذیل طور پر سمجھتے ہیں
1) حصہ ایک (نظام کی استحکام کے لیے ضروری شرائط): اس میں ہمیں دو شرائط ہیں جو درج ذیل ہیں:
خصوصی مساوات کے تمام ضرائب مثبت اور حقیقی ہونے چاہئے۔
خصوصی مساوات کے تمام ضرائب غیر صفر ہونے چاہئے۔
2) حصہ دو (نظام کی استحکام کے لیے کافی شرائط): چلو پہلے راؤتھ ارے کو بنائیں۔ راؤتھ ارے کو بنانے کے لیے درج ذیل قدموں کو پیروی کریں:
پہلی قطار میں خصوصی مساوات کے تمام جفت ضرائب شامل ہوں گے۔ انہیں پہلے (جفت ضریب) سے آخر (جفت ضریب) تک ترتیب دیں۔ پہلی قطار درج ذیل طور پر لکھی گئی ہے: a0 a2 a4 a6…………
دوسرا قطار میں خصوصی مساوات کے تمام غیر جفت ضرائب شامل ہوں گے۔ انہیں پہلے (غیر جفت ضریب) سے آخر (غیر جفت ضریب) تک ترتیب دیں۔ پہلی قطار درج ذیل طور پر لکھی گئی ہے: a1 a3 a5 a7………..
تیسری قطار کے عناصر کا حساب اس طرح لگایا جا سکتا ہے:
(1) پہلا عنصر : a0 کو اگلے کالم کے قطری طور پر موجود عنصر (یعنی a3) سے ضرب کریں پھر اس کو a1 اور a2 (جہاں a2 اگلے کالم کا قطری طور پر موجود عنصر ہے) کے ضرب سے منقطع کریں اور پھر آخر کار حاصل کردہ نتیجہ کو a1 سے تقسیم کریں۔ ریاضیاتی طور پر ہم پہلا عنصر کو لکھتے ہیں
(2) دوسرا عنصر : a0 کو اگلے کالم کے قطری طور پر موجود عنصر (یعنی a5) سے ضرب کریں پھر اس کو a1 اور a4 (جہاں a4
