Kriterju ta’ Stabbiltà Routh Hurwitz
Warajt it-teorija tal-sintesi tal-rżeż, nistgħu nqegħdu b’mod ġenerali li jekk l-ebda polu tas-sistema huwa fil-parti t-isfel tal-pjan s, is-sistema tkun instabbli. Fuq bass ta’ din il-kondizzjoni, A. Hurwitz u E.J.Routh bdew jagħmlu studji dwar il-kundizzjonijiet neċessarji u suffiċienti għall-stabbiltà tas-sistema. Niddebatu żewġ kriteriji għall-stabbiltà tas-sistema. Il-kriterju ewlenin huwa dawħal minn A. Hurwitz u dan il-kriterju huwa magħruf wkoll bħala Kriterju ta’ Hurwitz għall-stabbiltà jew Kriterju ta’ Routh Hurwitz (R-H) għall-stabbiltà.
Kriterju ta’ Hurwitz
Bil-għuda tal-equazzjoni karattristika, se nghmlu numru ta’ determinanti ta’ Hurwitz biex nifdhu l-stabbiltà tas-sistema. Nidefinixxu l-equazzjoni karattristika tas-sistema hekk
Issa hemm n determinanti għal equazzjoni karattristika ta’ ordni n.
Nara kif nistgħu niktibu l-determinanti mill-koeffiċjenti tal-equazzjoni karattristika. Il-proċedura pass-pass għal equazzjoni karattristika ta’ ordni k hija skrita hawn taħt:
Determinant ewlenin : Il-valur ta’ din id-determinant huwa |a1| fejn a1 huwa l-koeffiċjent tas-sn-1 fl-equazzjoni karattristika.
Determinant tnejnien : Il-valur ta’ din id-determinant huwa dat
Hawn il-numru ta’ elementi fiekull riga huwa l-istess bħal in-numru tad-determinant, u in-numru tad-determinant hawn huwa tnejn. Il-riga l-ewla tinsab bil-ewwel żewġ koeffiċjenti strambi, u l-riga t-tnejn tinsab bil-ewwel żewġ koeffiċjenti pari.
Determinant tlietien : Il-valur ta’ din id-determinant huwa dat
Hawn il-numru ta’ elementi fiekull riga huwa l-istess bħal in-numru tad-determinant, u in-numru tad-determinant hawn huwa tliet. Il-riga l-ewla tinsab bil-ewwel tliet koeffiċjenti strambi, l-riga t-tnejn tinsab bil-ewwel tliet koeffiċjenti pari, u l-riga t-tliet tinsab bil-element ewwel bħal zero u l-rest ta’ elementi tliet bħal l-ewwel żewġ koeffiċjenti strambi.
Determinant erbgien: Il-valur ta’ din id-determinant huwa dat,
Hawn il-numru ta’ elementi fiekull riga huwa l-istess bħal in-numru tad-determinant, u in-numru tad-determinant hawn huwa erbgien. Il-riga l-ewla tinsab bil-ewwel erbgien koeffiċjenti, l-riga t-tnejn tinsab bil-ewwel erbgien koeffiċjenti pari, l-riga t-tliet tinsab bil-element ewwel bħal zero u l-rest ta’ elementi tliet bħal l-ewwel tliet koeffiċjenti strambi, l-riga terbgien tinsab bil-element ewwel bħal zero u l-rest ta’ elementi tliet bħal l-ewwel tliet koeffiċjenti pari.
Bi l-għud ta’ din il-proċedura nistgħu nagħmel generalizzazzjoni tad-determinant. Il-forma ġenerali tad-determinant huwa dat hawn taħt:
Issa biex nivverifiku l-stabbiltà tas-sistema, nikkalkulaw il-valur ta’ kwalunkwe determinant. Is-sistema tkun stabbli jekk u biss jekk il-valur ta’ kwalunkwe determinant huwa akbar mill-zero, jiġifieri il-valur ta’ kwalunkwe determinant għandu jkun pożittiv. Fl-iktar każijiet oħra, is-sistema ma tkunx stabbli.
Kriterju ta’ Stabbiltà ta’ Routh
Dan il-kriterju huwa magħruf wkoll bħala Kriterju ta’ Hurwitz modifikat għall-stabbiltà tas-sistema. Nistudjaw dan il-kriterju fi żewġ parti. Il-parti l-ewla tikkopri l-kundizzjoni neċessarja għall-stabbiltà tas-sistema, u l-parti t-tnejn tikkopri l-kundizzjoni suffiċienti għall-stabbiltà tas-sistema. Nirreġgħu nużaw l-equazzjoni karattristika tas-sistema hekk
1) Parti l-ewla (kundizzjoni neċessarja għall-stabbiltà tas-sistema): Hawn hemm żewġ kondizzjonijiet li huma skritti hawn taħt:
Kliment koeffiċjenti tal-equazzjoni karattristika għandhom ikunu pożittivi u reali.
Kliment koeffiċjenti tal-equazzjoni karattristika għandhom ikunu mhux nulli.
2) Parti t-tnejn (kundizzjoni suffiċienti għall-stabbiltà tas-sistema): Nghmlu l-array ta’ Routh. Biex nghmlu l-array ta’ Routh, segwi dawn il-passi:
Il-riga l-ewla tinsab bikliment koeffiċjenti pari tal-equazzjoni karattristika. Aqrabhom mid-ewwel (koeffiċjent pari) sal-aħħar (koeffiċjent pari). Il-riga l-ewla hija skrita hawn taħt: a0 a2 a4 a6…………
Il-riga t-tnejn tinsab bikliment koeffiċjenti strambi tal-equazzjoni karattristika. Aqrabhom mid-ewwel (koeffiċjent stramb) sal-aħħar (koeffiċjent stramb). Il-riga t-tnejn hija skrita hawn taħt: a1 a3 a5 a7………..
L-elementi tar-riga t-tliet jistgħu jikkalkulawwa b’dan il-mod:
(1) L-element ewwel : Iżdied a0 ma’ l-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss (jiġifieri a3) phekk diksi minn ir-risultat tal-prodott ta’ a1 u a2 (fejn a2 huwa l-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss) u phekk diksi nqasim il-risultat sa ottenu ma’ a1. Matematikament niskrivu l-element ewwel
(2) L-element tnejnien : Iżdied a0 ma’ l-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss wara l-oħra (jiġifieri a5) phekk diksi minn ir-risultat tal-prodott ta’ a1 u a4 (fejn, a4 huwa l-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss wara l-oħra) u phekk diksi nqasim il-risultat sa ottenu ma’ a1. Matematikament niskrivu l-element tnejnien
F'dan il-mod nistgħu nkalkulaw kwalunkwe element tar-riga t-tliet.
(d) L-elementi tar-riga terbgien jistgħu jikkalkulawwa bill-proċedura seguenta:
(1) L-element ewwel : Iżdied b1 ma’ l-element diagonali opposti tal-kolonna li jmiss (jiġifieri a3) phekk diksi minn ir-risultat tal-prodott ta’ a1 u b
