Routh Hurwitz Stabilitetskriterium
Efter att ha läst teorin om nätverkssyntes kan vi enkelt konstatera att om någon pol i systemet ligger på höger sida av origo i s-planen, gör det systemet instabilt. På basis av detta villkor började A. Hurwitz och E.J. Routh undersöka de nödvändiga och tillräckliga villkoren för systemets stabilitисть. Vi kommer att diskutera två kriterier för systemets stabilitисть. Det första kriteriet ges av A. Hurwitz och detta kriterium är också känt som Hurwitz Kriterium för stabilitисть eller Routh Hurwitz (R-H) Stabilitetskriterium.
Hurwitz Kriterium
Med hjälp av karakteristiska ekvationen kommer vi att skapa ett antal Hurwitz-determinanter för att fastställa systemets stabilitисть. Vi definierar systemets karakteristiska ekvation som
Nu finns det n determinanter för en n:te ordningens karakteristisk ekvation.
Låt oss se hur vi kan skriva determinanter från koefficienterna i den karakteristiska ekvationen. Steg-för-steg-proceduren för en k:te ordningens karakteristisk ekvation anges nedan:
Determinant ett : Värdet för denna determinant ges av |a1| där a1 är koefficienten för sn-1 i den karakteristiska ekvationen.
Determinant två : Värdet för denna determinant ges av
Här är antalet element i varje rad lika med determinantnummer och vi har determinantnummer här är två. Den första raden består av de första två udda koefficienterna och den andra raden består av de första två jämna koefficienterna.
Determinant tre : Värdet för denna determinant ges av
Här är antalet element i varje rad lika med determinantnummer och vi har determinantnummer här är tre. Den första raden består av de första tre udda koefficienterna, den andra raden består av de första tre jämna koefficienterna och den tredje raden består av första elementet som noll och resten av de två elementen som de första två udda koefficienterna.
Determinant fyra: Värdet för denna determinant ges av,
Här är antalet element i varje rad lika med determinantnummer och vi har determinantnummer här är fyra. Den första raden består av de första fyra koefficienterna, den andra raden består av de första fyra jämna koefficienterna, den tredje raden består av första elementet som noll och resten av de tre elementen som de första tre udda koefficienterna och den fjärde raden består av första elementet som noll och resten av de tre elementen som de första tre jämna koefficienterna.
Genom att följa samma procedur kan vi generalisera determinantformeringen. Den generella formen av determinant ges nedan:
För att kontrollera stabilitисть i det ovanstående systemet, beräkna värdet för varje determinant. Systemet kommer att vara stabilt om och endast om värdet för varje determinant är större än noll, dvs. värdet för varje determinant ska vara positivt. I alla andra fall kommer systemet inte att vara stabilt.
Routh Stabilitetskriterium
Detta kriterium är också känt som det modifierade Hurwitz-kriteriet för systemets stabilitисть. Vi kommer att studera detta kriterium i två delar. Del ett kommer att täcka nödvändiga villkor för systemets stabilitисть och del två kommer att täcka tillräckliga villkor för systemets stabilitисть. Låt oss återigen betrakta systemets karakteristiska ekvation som
1) Del ett (nödvändigt villkor för systemets stabilitисть): Här har vi två villkor som anges nedan:
Alla koefficienter i den karakteristiska ekvationen bör vara positiva och reella.
Alla koefficienter i den karakteristiska ekvationen bör vara icke-noll.
2) Del två (tillräckligt villkor för systemets stabilitисть): Låt oss först konstruera Routh-array. För att konstruera Routh-array följ dessa steg:
Den första raden kommer att bestå av alla jämna termer i den karakteristiska ekvationen. Anordna dem från första (jämna term) till sista (jämna term). Den första raden anges nedan: a0 a2 a4 a6…………
Den andra raden kommer att bestå av alla udda termer i den karakteristiska ekvationen. Anordna dem från första (udda term) till sista (udda term). Den första raden anges nedan: a1 a3 a5 a7………..
Elementen i den tredje raden kan beräknas som:
(1) Första elementet : Multiplicera a0 med diagonalt motstående element i nästa kolumn (dvs. a3) subtrahera sedan detta från produkten av a1 och a2 (där a2 är diagonalt motstående element i nästa kolumn) och dividera sedan resultatet med a1. Matematiskt skriver vi första elementet
(2) Andra elementet : Multiplicera a0 med diagonalt motstående element i nästa till nästa kolumn (dvs. a5) subtrahera sedan detta från produkten av a1 och a4 (där, a4 är diagonalt motstående element i nästa till nästa kolumn) och dividera sedan resultatet med a1. Matematiskt skriver vi andra elementet
På samma sätt kan vi beräkna alla element i den tredje raden.
(d) Elementen i den fjärde raden kan beräknas genom att använda följande procedur:
(1) Första elementet : Multiplicera b1 med diagonalt motstående element i nästa kolumn (dvs. a3) subtrahera sedan detta från produkten av a1 och b2 (där, b2 är diagonalt motstående element i nästa kolumn) och dividera sedan resultatet med b1. Matematiskt skriver vi första elementet
(2) Andra elementet : Multiplicera b
