Kryterium stabilności Routha-Hurwitza

Po przeczytaniu teorii syntezy sieci możemy łatwo stwierdzić, że jeśli jakikolwiek biegun systemu leży po prawej stronie początku płaszczyzny s, to sprawia, że system jest niestabilny. Na podstawie tego warunku A. Hurwitz i E.J. Routh zaczęli badać niezbędne i wystarczające warunki stabilności systemu. Omówimy dwa kryteria stabilności systemu. Pierwsze kryterium podał A. Hurwitz, a to kryterium znane jest również jako Kryterium stabilności Hurwitza lub Kryterium stabilności Routha-Hurwitza (R-H).

Kryterium stabilności Hurwitza

Z pomocą równania charakterystycznego utworzymy szereg wyznaczników Hurwitza, aby określić stabilność systemu. Definiujemy równanie charakterystyczne systemu jako

Dla równania charakterystycznego n-tego stopnia istnieje n wyznaczników.

Pokażemy, jak można tworzyć wyznaczniki z współczynników równania charakterystycznego. Krok po kroku procedura dla równania charakterystycznego k-tego stopnia jest opisana poniżej:
Wyznacznik pierwszy : Wartość tego wyznacznika wynosi |a1|, gdzie a1 to współczynnik przy sn-1 w równaniu charakterystycznym.
Wyznacznik drugi : Wartość tego wyznacznika wynosi

Liczba elementów w każdym wierszu jest równa numerowi wyznacznika, a tutaj mamy wyznacznik numer dwa. Pierwszy wiersz składa się z dwóch pierwszych nieparzystych współczynników, a drugi wiersz z dwóch pierwszych parzystych współczynników.
Wyznacznik trzeci : Wartość tego wyznacznika wynosi

Liczba elementów w każdym wierszu jest równa numerowi wyznacznika, a tutaj mamy wyznacznik numer trzy. Pierwszy wiersz składa się z trzech pierwszych nieparzystych współczynników, drugi wiersz z trzech pierwszych parzystych współczynników, a trzeci wiersz z pierwszego elementu równego zero i dwóch pozostałych elementów będących pierwszymi dwoma nieparzystymi współczynnikami.
Wyznacznik czwarty: Wartość tego wyznacznika wynosi,

Liczba elementów w każdym wierszu jest równa numerowi wyznacznika, a tutaj mamy wyznacznik numer cztery. Pierwszy wiersz składa się z czterech pierwszych współczynników, drugi wiersz z czterech pierwszych parzystych współczynników, trzeci wiersz z pierwszego elementu równego zero i trzech pozostałych elementów będących trzema pierwszymi nieparzystymi współczynnikami, a czwarty wiersz z pierwszego elementu równego zero i trzech pozostałych elementów będących trzema pierwszymi parzystymi współczynnikami.

Postępując tak samo, możemy uogólnić formowanie wyznaczników. Ogólna forma wyznacznika przedstawiona jest poniżej:

Aby sprawdzić stabilność powyższego systemu, oblicz wartość każdego wyznacznika. System będzie stabilny, jeżeli i tylko jeżeli wartość każdego wyznacznika jest większa od zera, czyli wartość każdego wyznacznika powinna być dodatnia. We wszystkich innych przypadkach system nie będzie stabilny.

Kryterium stabilności Routha

To kryterium znane jest również jako zmodyfikowane kryterium stabilności Hurwitza. Będziemy studiować to kryterium w dwóch częściach. Część pierwsza obejmie niezbędne warunki stabilności systemu, a część druga - wystarczające warunki stabilności systemu. Ponownie rozważmy równanie charakterystyczne systemu jako

1) Część pierwsza (niezbędne warunki stabilności systemu): Mamy tu dwa warunki, które są przedstawione poniżej:

1. Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego powinny być dodatnie i rzeczywiste.

2. Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego powinny być różne od zera.

2) Część druga (wystarczające warunki stabilności systemu): Najpierw skonstruujmy tablicę Routha. Aby skonstruować tablicę Routha, postępuj zgodnie z tymi krokami:

• Pierwszy wiersz będzie zawierał wszystkie parzyste terminy równania charakterystycznego. Ułóż je od pierwszego (parzystego) do ostatniego (parzystego). Pierwszy wiersz wygląda następująco: a0 a2 a4 a6…………

• Drugi wiersz będzie zawierał wszystkie nieparzyste terminy równania charakterystycznego. Ułóż je od pierwszego (nieparzystego) do ostatniego (nieparzystego). Drugi wiersz wygląda następująco: a1 a3 a5 a7………..

• Elementy trzeciego wiersza można obliczyć jako:
  (1) Pierwszy element : Pomnóż a0 z diagonalnie przeciwległym elementem w kolejnej kolumnie (tj. a3) następnie odejmij ten iloczyn od iloczynu a1 i a2 (gdzie a2 jest diagonalnie przeciwległym elementem w kolejnej kolumnie), a następnie podziel otrzymany wynik przez a1. Matematycznie zapisujemy jako pierwszy element

(2) Drugi element : Pomnóż a0 z diagonalnie przeciwległym elementem w kolumnie za następną (tj. a5), następnie odejmij ten iloczyn od iloczynu a1 i a4 (gdzie a4 jest diagonalnie przeciwległym elementem w kolumnie za następną), a następnie podziel otrzymany wynik przez a1. Matematycznie zapisujemy jako drugi element

Podobnie można obliczyć wszystkie elementy trzeciego wiersza.
(d) Elementy czwartego wiersza można obliczyć stosując następującą procedurę:
(1) Pierwszy element : Pomnóż b1 z diagonalnie przeciwległym elementem w kolejnej kolumnie (tj. a3), następnie odejmij ten iloczyn od iloczynu a1 i b2 (gdzie b2 jest diagonalnie przeciwległym elementem w kolejnej kolumnie), a następnie podziel otrzymany wynik przez b1. Matematycznie zapisujemy jako pierwszy element