Criteri de stabilitat de Routh-Hurwitz

Després de llegir la teoria de la síntesi de xarxes, podem dir fàcilment que qualsevol pol d'un sistema que es trobi a la dreta de l'origen del pla s, fa que el sistema sigui inestable. Basant-nos en aquesta condició, A. Hurwitz i E.J. Routh van començar a investigar les condicions necessàries i suficients per a la estabilitat d'un sistema. Discutirem dos criteris per a la estabilitat del sistema. El primer criteri és donat per A. Hurwitz i aquest criteri també és conegut com Criteri de Hurwitz per a la estabilitat o Criteri de Routh-Hurwitz (R-H) de estabilitat.

Criteri de Hurwitz

Amb l'ajuda de l'equació característica, crearem una sèrie de determinants de Hurwitz per a trobar la estabilitat del sistema. Definim l'equació característica del sistema com

Ara hi ha n determinants per a una equació característica d'ordre n.

Veurem com podem escriure els determinants a partir dels coeficients de l'equació característica. El procediment pas a pas per a una equació característica d'ordre k és el següent:
Determinant un : El valor d'aquest determinant es dóna per |a1| on a1 és el coeficient de sn-1 a l'equació característica.
Determinant dos : El valor d'aquest determinant es dóna per

Aquí, el nombre d'elements en cada fila és igual al número de determinant i tenim que el número de determinant aquí és dos. La primera fila consisteix en els primers dos coeficients senars i la segona fila consisteix en els primers dos coeficients parells.
Determinant tres : El valor d'aquest determinant es dóna per

Aquí, el nombre d'elements en cada fila és igual al número de determinant i tenim que el número de determinant aquí és tres. La primera fila consisteix en els primers tres coeficients senars, la segona fila consisteix en els primers tres coeficients parells i la tercera fila consisteix en el primer element com a zero i els altres dos elements com els primers dos coeficients senars.
Determinant quatre: El valor d'aquest determinant es dóna per,

Aquí, el nombre d'elements en cada fila és igual al número de determinant i tenim que el número de determinant aquí és quatre. La primera fila consisteix en els primers quatre coeficients, la segona fila consisteix en els primers quatre coeficients parells, la tercera fila consisteix en el primer element com a zero i els altres tres elements com els primers tres coeficients senars, i la quarta fila consisteix en el primer element com a zero i els altres tres elements com els primers tres coeficients parells.

Seguint el mateix procediment, podem generalitzar la formació del determinant. La forma general del determinant es dóna a continuació:

Ara, per a comprovar la estabilitat del sistema anterior, calculeu el valor de cada determinant. El sistema serà estable si i només si el valor de cada determinant és major que zero, és a dir, el valor de cada determinant hauria de ser positiu. En tots els altres casos, el sistema no serà estable.

Criteri de Routh de estabilitat

Aquest criteri també és conegut com el criteri modificat de Hurwitz per a la estabilitat del sistema. Estudiarem aquest criteri en dues parts. La part una cobrirà la condició necessària per a la estabilitat del sistema i la part dos cobrirà la condició suficient per a la estabilitat del sistema. Considerem de nou l'equació característica del sistema com

1) Part una (condició necessària per a la estabilitat del sistema): Aquí tenim dues condicions que es detallen a continuació:

1. Tots els coeficients de l'equació característica haurien de ser positius i reals.

2. Tots els coeficients de l'equació característica haurien de ser diferents de zero.

2) Part dos (condició suficient per a la estabilitat del sistema): Construïm primer la taula de Routh. Per a construir la taula de Routh, segueixi aquests passos:

• La primera fila consistirà en tots els termes parells de l'equació característica. Organitzeu-los des del primer (terme parell) fins al darrer (terme parell). La primera fila es redacta a continuació: a0 a2 a4 a6…………

• La segona fila consistirà en tots els termes senars de l'equació característica. Organitzeu-los des del primer (terme senar) fins al darrer (terme senar). La segona fila es redacta a continuació: a1 a3 a5 a7………..

• Els elements de la tercera fila es poden calcular com:
  (1) Primer element : Multipliqueu a0 amb l'element diagonalment oposat de la columna següent (és a dir, a3) llavors resteu això del producte de a1 i a2 (on a2 és l'element diagonalment oposat de la columna següent) i llavors finalment dividiu el resultat obtingut amb a1. Matemàticament escrivim el primer element com

(2) Segon element : Multipliqueu a0 amb l'element diagonalment oposat de la columna següent (és a dir, a5) llavors resteu això del producte de a1 i a4 (on, a4 és l'element diagonalment oposat de la columna següent) i llavors finalment dividiu el resultat obtingut amb a1. Matemàticament escrivim el segon element com

De manera similar, podem calcular tots els elements de la tercera fila.
(d) Els elements de la quarta fila es poden calcular utilitzant el següent procediment:
(1) Primer element : Multipliqueu b1 amb l'element diagonalment oposat de la columna següent (és a dir, a3) llavors resteu això del producte de a1 i b2 (on, b2 és l'element diagonalment oposat de la columna següent) i llavors finalment dividiu el resultat obtingut amb b1. Matemàticament escrivim el primer element com