Kriterion de Stabeco de Routh-Hurwitz

Post legado de la teorio pri reteksintezo, ni povas facile diri, ke ĉiu poluso de la sistemo kuŝas dekstren de la origino de la s-ebeno, tio faras la sistemon malstabila. Bazante sur ĉi tiu kondiĉo A. Hurwitz kaj E.J.Routh komencis esplori la necesaĵojn kaj sufiĉaĵojn de stabileco de sistemo. Ni diskutos du kriteriojn por stabileco de la sistemo. La unua kriterio estas donita de A. Hurwitz kaj ĉi tiu kriterio ankaŭ estas konata kiel Hurwitz Kriterio por stabileco aŭ Routh-Hurwitz (R-H) Stabileckriterio.

Hurwitz Kriterio

Per la karakteriza ekvacio, ni faros kelkajn determinantojn de Hurwitz por trovi la stabilecon de la sistemo. Ni difinas la karakterizan ekvacion de la sistemo kiel

Nun estas n determinantoj por na-orda karakteriza ekvacio.

Vidu, kiel ni povas skribi determinantojn el la koeficientoj de la karakteriza ekvacio. La paŝopara proceduro por ka-orda karakteriza ekvacio estas sube:
Unua determinanto : La valoro de ĉi tiu determinanto estas donita per |a1| kie a1 estas la koeficiento de sn-1 en la karakteriza ekvacio.
Dua determinanto : La valoro de ĉi tiu determinanto estas donita per

Ĉi tie la nombro de elementoj en ĉiu vico egalas al la nombro de determinanto kaj ni havas determinanton nombro du. La unua vico konsistas el la unuaj du nepara koeficientoj kaj la dua vico konsistas el la unuaj du para koeficientoj.
Tria determinanto : La valoro de ĉi tiu determinanto estas donita per

Ĉi tie la nombro de elementoj en ĉiu vico egalas al la nombro de determinanto kaj ni havas determinanton nombro tri. La unua vico konsistas el la unuaj tri nepara koeficientoj, la dua vico konsistas el la unuaj tri para koeficientoj kaj la tria vico konsistas el la unua elemento kiel nul kaj la restaj du elementoj kiel la unuaj du nepara koeficientoj.
Kvara determinanto: La valoro de ĉi tiu determinanto estas donita per,

Ĉi tie la nombro de elementoj en ĉiu vico egalas al la nombro de determinanto kaj ni havas determinanton nombro kvar. La unua vico konsistas el la unuaj kvar koeficientoj, la dua vico konsistas el la unuaj kvar para koeficientoj, la tria vico konsistas el la unua elemento kiel nul kaj la restaj tri elementoj kiel la unuaj tri nepara koeficientoj kaj la kvara vico konsistas el la unua elemento kiel nul kaj la restaj tri elementoj kiel la unuaj tri para koeficientoj.

Sekvante la saman proceduron ni povas ĝeneraligi la formadon de determinanto. La ĝenerala formo de determinanto estas sube:

Nun por kontroli la stabilecon de la supre menciita sistemo, kalkulu la valoron de ĉiu determinanto. La sistemo estos stabila nur se la valoro de ĉiu determinanto estas pli granda ol nul, t.e. la valoro de ĉiu determinanto devas esti pozitiva. En ĉiuj aliaj kazoj la sistemo ne estos stabila.

Routh Stabileckriterio

Ĉi tiu kriterio ankaŭ estas konata kiel modifita Hurwitz Kriterio de stabileco de la sistemo. Ni studos ĉi tiun kriterion en du partoj. La unua parto pritraktos la necesan kondiĉon por stabileco de la sistemo kaj la dua parto pritraktos la sufiĉan kondiĉon por la stabileco de la sistemo. Denove konsideru la karakterizan ekvacion de la sistemo kiel

1) Unua parto (necesa kondiĉo por stabileco de la sistemo): Ĉi tie estas du kondiĉoj kiuj estas sube:

1. Ĉiuj koeficientoj de la karakteriza ekvacio devas esti pozitivaj kaj reelaj.

2. Ĉiuj koeficientoj de la karakteriza ekvacio devas esti nenulaj.

2) Dua parto (sufiĉa kondiĉo por stabileco de la sistemo): Konstruu unue la Routh-tablon. Por konstrui la Routh-tablon sekvu ĉi tiujn paŝojn:

• La unua vico konsistos el ĉiuj paraj terminoj de la karakteriza ekvacio. Aranĝu ilin de la unua (para termino) ĝis la lasta (para termino). La unua vico estas sube: a0 a2 a4 a6…………

• La dua vico konsistos el ĉiuj neparaj terminoj de la karakteriza ekvacio. Aranĝu ilin de la unua (nepara termino) ĝis la lasta (nepara termino). La unua vico estas sube: a1 a3 a5 a7………..

• La elementoj de la tria vico povas esti kalkulitaj kiel:
  (1) Unua elemento : Multipliku a0 per la diagonale kontraŭa elemento de la venonta kolono (t.e. a3) tiam subtraktu ĉi tion de la produto de a1 kaj a2 (kie a2 estas diagonale kontraŭa elemento de la venonta kolono) kaj tiam fine dividu la rezulton tiel ricevitajn kun a1. Matematike ni skribas kiel unua elemento

(2) Dua elemento : Multipliku a0 per la diagonale kontraŭa elemento de la venonta al la venonta kolono (t.e. a5) tiam subtraktu ĉi tion de la produto de a1 kaj a4 (kie, a4 estas diagonale kontraŭa elemento de la venonta al la venonta kolono) kaj tiam fine dividu la rezulton tiel ricevitajn kun a1. Matematike ni skribas kiel dua elemento

Simile, ni povas kalkuli ĉiujn elementojn de la tria vico.
(d) La elementoj de la kvara vico povas esti kalkulitaj per la jena proceduro:
(1) Unua elemento : Multipliku b1 per la diagonale kontraŭa elemento de la venonta kolono (t.e. a3) tiam subtraktu ĉi tion de la produto de a1 kaj b2 (kie, b2 estas diagonale kontraŭa elemento de la venonta kolono) kaj tiam fine dividu la rezulton tiel rice