রাউথ-হারউইট স্থিতিশীলতা মানদণ্ড

নেটওয়ার্ক সিনথেসিসের তত্ত্ব পড়ার পর, আমরা সহজেই বলতে পারি যে, যদি একটি সিস্টেমের যেকোনো পোল s তলের মূলবিন্দুর ডানদিকে থাকে, তাহলে সিস্টেমটি অস্থিতিশীল হয়। এই শর্তের উপর ভিত্তি করে A. Hurwitz এবং E.J.Routh একটি সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য প্রয়োজনীয় ও যথেষ্ট শর্তগুলি গবেষণা শুরু করেছিলেন। আমরা সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য দুটি মানদণ্ড আলোচনা করব। প্রথম মানদণ্ডটি A. Hurwitz দ্বারা দেওয়া হয়েছিল এবং এটি Hurwitz স্থিতিশীলতা মানদণ্ড বা Routh Hurwitz (R-H) স্থিতিশীলতা মানদণ্ড হিসাবেও পরিচিত।

Hurwitz মানদণ্ড

সিস্টেমের স্থিতিশীলতা নির্ণয় করার জন্য আমরা বৈশিষ্ট্য সমীকরণের সাহায্যে একাধিক Hurwitz নির্ধারক তৈরি করব। আমরা সিস্টেমের বৈশিষ্ট্য সমীকরণকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করি

এখন n তম মাত্রার বৈশিষ্ট্য সমীকরণের জন্য n টি নির্ধারক রয়েছে।

আমরা দেখি কিভাবে বৈশিষ্ট্য সমীকরণের সহগগুলি থেকে নির্ধারকগুলি লিখতে পারি। k তম মাত্রার বৈশিষ্ট্য সমীকরণের জন্য ধাপে ধাপে প্রক্রিয়া নিম্নে লেখা হল:
নির্ধারক এক : এই নির্ধারকের মান |a1| দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে a1 হল বৈশিষ্ট্য সমীকরণে sn-1 এর সহগ।
নির্ধারক দুই : এই নির্ধারকের মান দেওয়া হয়

এখানে প্রতিটি সারির উপাদান সংখ্যা নির্ধারক সংখ্যার সমান এবং আমাদের নির্ধারক সংখ্যা দুই। প্রথম সারিতে প্রথম দুইটি বিজোড় সহগ এবং দ্বিতীয় সারিতে প্রথম দুইটি জোড় সহগ রয়েছে।
নির্ধারক তিন : এই নির্ধারকের মান দেওয়া হয়

এখানে প্রতিটি সারির উপাদান সংখ্যা নির্ধারক সংখ্যার সমান এবং আমাদের নির্ধারক সংখ্যা তিন। প্রথম সারিতে প্রথম তিনটি বিজোড় সহগ, দ্বিতীয় সারিতে প্রথম তিনটি জোড় সহগ এবং তৃতীয় সারিতে প্রথম উপাদান শূন্য এবং বাকি দুইটি উপাদান প্রথম দুইটি বিজোড় সহগ রয়েছে।
নির্ধারক চার: এই নির্ধারকের মান দেওয়া হয়,

এখানে প্রতিটি সারির উপাদান সংখ্যা নির্ধারক সংখ্যার সমান এবং আমাদের নির্ধারক সংখ্যা চার। প্রথম সারিতে প্রথম চারটি সহগ, দ্বিতীয় সারিতে প্রথম চারটি জোড় সহগ, তৃতীয় সারিতে প্রথম উপাদান শূন্য এবং বাকি তিনটি উপাদান প্রথম তিনটি বিজোড় সহগ এবং চতুর্থ সারিতে প্রথম উপাদান শূন্য এবং বাকি তিনটি উপাদান প্রথম তিনটি জোড় সহগ রয়েছে।

একই প্রক্রিয়া অনুসরণ করে আমরা নির্ধারক গঠনের সাধারণীকরণ করতে পারি। নির্ধারকের সাধারণ আকার নিম্নে দেওয়া হল:

উপরের সিস্টেমের স্থিতিশীলতা পরীক্ষা করার জন্য, প্রতিটি নির্ধারকের মান গণনা করুন। সিস্টেমটি স্থিতিশীল হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি নির্ধারকের মান শূন্যের চেয়ে বড় হয়, অর্থাৎ প্রতিটি নির্ধারকের মান ইতিবাচক হবে। সমস্ত অন্যান্য ক্ষেত্রে সিস্টেমটি স্থিতিশীল হবে না।

Routh স্থিতিশীলতা মানদণ্ড

এই মানদণ্ডটি সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য Hurwitz মানদণ্ডের সংশোধিত রূপও পরিচিত। আমরা এই মানদণ্ডটি দুটি অংশে অধ্যয়ন করব। প্রথম অংশে সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত এবং দ্বিতীয় অংশে সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য যথেষ্ট শর্ত আলোচনা করব। আবারও আমরা সিস্টেমের বৈশিষ্ট্য সমীকরণটি বিবেচনা করি

1) প্রথম অংশ (সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত): এই অংশে আমাদের দুটি শর্ত রয়েছে যা নিম্নে দেওয়া হল:

1. বৈশিষ্ট্য সমীকরণের সমস্ত সহগ ইতিবাচক এবং বাস্তব হওয়া উচিত।

2. বৈশিষ্ট্য সমীকরণের সমস্ত সহগ শূন্য না হওয়া উচিত।

2) দ্বিতীয় অংশ (সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য যথেষ্ট শর্ত): আমরা প্রথমে রাউথ অ্যারে তৈরি করব। রাউথ অ্যারে তৈরি করার জন্য নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করুন:

• প্রথম সারিতে বৈশিষ্ট্য সমীকরণের সমস্ত জোড় পদ থাকবে। তাদের প্রথম (জোড় পদ) থেকে শেষ (জোড় পদ) পর্যন্ত সাজানো হবে। প্রথম সারিটি নিম্নে দেওয়া হল: a0 a2 a4 a6…………

• দ্বিতীয় সারিতে বৈশিষ্ট্য সমীকরণের সমস্ত বিজোড় পদ থাকবে। তাদের প্রথম (বিজোড় পদ) থেকে শেষ (বিজোড় পদ) পর্যন্ত সাজানো হবে। প্রথম সারিটি নিম্নে দেওয়া হল: a1 a3 a5 a7………..

• তৃতীয় সারির উপাদানগুলি নিম্নরূপে গণনা করা যায়:
  (1) প্রথম উপাদান : a0 কে পরবর্তী কলামের বিকর্ণভ