Tiêu chuẩn ổn định Routh Hurwitz

Sau khi đọc lý thuyết về hợp thành mạng, chúng ta có thể dễ dàng nói rằng bất kỳ cực nào của hệ thống nằm bên phải gốc tọa độ của mặt phẳng s, nó làm cho hệ thống không ổn định. Dựa trên điều kiện này, A. Hurwitz và E.J.Routh đã bắt đầu điều tra các điều kiện cần thiết và đủ để hệ thống ổn định. Chúng ta sẽ thảo luận về hai tiêu chí ổn định của hệ thống. Tiêu chí đầu tiên được đưa ra bởi A. Hurwitz và tiêu chí này cũng được gọi là Tiêu chí Hurwitz về ổn định hoặc Tiêu chí ổn định Routh Hurwitz (R-H).

Tiêu chí Hurwitz

Với sự giúp đỡ của phương trình đặc trưng, chúng ta sẽ tạo ra một số định thức Hurwitz để tìm ra sự ổn định của hệ thống. Chúng ta định nghĩa phương trình đặc trưng của hệ thống như sau

Bây giờ có n định thức cho phương trình đặc trưng bậc nth.

Hãy xem cách chúng ta có thể viết các định thức từ các hệ số của phương trình đặc trưng. Quy trình từng bước cho phương trình đặc trưng bậc kth được viết dưới đây:
Định thức thứ nhất : Giá trị của định thức này được cho bởi |a1| trong đó a1 là hệ số của sn-1 trong phương trình đặc trưng.
Định thức thứ hai : Giá trị của định thức này được cho bởi

Ở đây, số lượng phần tử trong mỗi hàng bằng số định thức và chúng ta có số định thức ở đây là hai. Hàng đầu tiên bao gồm hai hệ số lẻ đầu tiên và hàng thứ hai bao gồm hai hệ số chẵn đầu tiên.
Định thức thứ ba : Giá trị của định thức này được cho bởi

Ở đây, số lượng phần tử trong mỗi hàng bằng số định thức và chúng ta có số định thức ở đây là ba. Hàng đầu tiên bao gồm ba hệ số lẻ đầu tiên, hàng thứ hai bao gồm ba hệ số chẵn đầu tiên và hàng thứ ba bao gồm phần tử đầu tiên là không và hai phần tử còn lại là hai hệ số lẻ đầu tiên.
Định thức thứ tư: Giá trị của định thức này được cho bởi,

Ở đây, số lượng phần tử trong mỗi hàng bằng số định thức và chúng ta có số định thức ở đây là bốn. Hàng đầu tiên bao gồm bốn hệ số đầu tiên, hàng thứ hai bao gồm bốn hệ số chẵn đầu tiên, hàng thứ ba bao gồm phần tử đầu tiên là không và ba phần tử còn lại là ba hệ số lẻ đầu tiên, hàng thứ tư bao gồm phần tử đầu tiên là không và ba phần tử còn lại là ba hệ số chẵn đầu tiên.

Bằng cách theo quy trình tương tự, chúng ta có thể tổng quát hóa việc hình thành định thức. Định thức tổng quát được cho dưới đây:

Bây giờ, để kiểm tra sự ổn định của hệ thống trên, hãy tính giá trị của mỗi định thức. Hệ thống sẽ ổn định nếu và chỉ nếu giá trị của mỗi định thức lớn hơn không, tức là giá trị của mỗi định thức phải dương. Trong tất cả các trường hợp khác, hệ thống sẽ không ổn định.

Tiêu chí ổn định Routh

Tiêu chí này cũng được biết đến như là tiêu chí Hurwitz được sửa đổi về sự ổn định của hệ thống. Chúng ta sẽ nghiên cứu tiêu chí này trong hai phần. Phần một sẽ bao gồm điều kiện cần thiết cho sự ổn định của hệ thống và phần hai sẽ bao gồm điều kiện đủ cho sự ổn định của hệ thống. Hãy xem xét lại phương trình đặc trưng của hệ thống như sau

1) Phần một (điều kiện cần thiết cho sự ổn định của hệ thống): Trong phần này, chúng ta có hai điều kiện được viết dưới đây:

1. Tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải dương và thực.

2. Tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác không.

2) Phần hai (điều kiện đủ cho sự ổn định của hệ thống): Đầu tiên, hãy xây dựng bảng Routh. Để xây dựng bảng Routh, hãy theo các bước sau:

• Hàng đầu tiên sẽ bao gồm tất cả các hạng mục chẵn của phương trình đặc trưng. Sắp xếp chúng từ hạng mục chẵn đầu tiên đến hạng mục chẵn cuối cùng. Hàng đầu tiên được viết dưới đây: a0 a2 a4 a6…………

• Hàng thứ hai sẽ bao gồm tất cả các hạng mục lẻ của phương trình đặc trưng. Sắp xếp chúng từ hạng mục lẻ đầu tiên đến hạng mục lẻ cuối cùng. Hàng thứ hai được viết dưới đây: a1 a3 a5 a7………..

• Các phần tử của hàng thứ ba có thể được tính như sau:
  (1) Phần tử đầu tiên : Nhân a0 với phần tử đối diện đường chéo của cột kế tiếp (tức là a3) sau đó trừ đi tích của a1 và a2 (trong đó a2 là phần tử đối diện đường chéo của cột kế tiếp) và sau đó chia kết quả thu được cho a1. Toán học, chúng ta viết phần tử đầu tiên

(2) Phần tử thứ hai : Nhân a0 với phần tử đối diện đường chéo của cột kế tiếp (tức là a5) sau đó trừ đi tích của a1 và a4 (trong đó, a4 là phần tử đối diện đường chéo của cột kế tiếp) và sau đó chia kết quả thu được cho a1. Toán học, chúng ta viết phần tử thứ hai

Tương tự, chúng ta có thể tính toán tất cả các phần tử của hàng thứ ba.
(d) Các phần tử của hàng thứ tư có thể được tính bằng cách sử dụng quy trình sau:
(1) Phần tử đầu tiên : Nhân b1 với phần tử đối diện đường chéo của cột kế tiếp (tức là a3) sau đó trừ đi tích của a1 và b2 (trong đó, b2 là phần tử đối diện đường chéo của cột kế tiếp) và sau đó chia kết quả thu được cho b1. Toán học, chúng ta viết phần tử đầu tiên

(2) Phần tử thứ hai : Nhân b