Routh Hurwitz稳定性准则

Tarmoq sintezasi teoriyasini o'qib chiqgandan keyin, biz tizimning har qanday poli s tasavvurgariga o'ng tomondagi s taqqoslanish maydonining boshlang'ich nuqtasidan chapga yotganligi, tizimni o'zgarisiz holatga keltiradi. Bu shart asosida A. Hurwitz va E.J.Routh tizimning o'zgarisizlik shartlarini o'rganishni boshladi. Biz tizimning o'zgarisizlik uchun ikkita kriteriyani muhokama qilamiz. Birinchi kriteriya A. Hurwitz tomonidan berilgan va bu kriteriya Hurwitz o'zgarisizlik kriteriyasi yoki Routh-Hurwitz (R-H) o'zgarisizlik kriteriyasi deb ham ataladi.

Hurwitz kriteriyasi

Xarakteristik tenglamaga yordam berib, biz tizimning o'zgarisizligini aniqlovchilar sonini yaratamiz. Tizimning xarakteristik tenglamasini quyidagicha aniqlaymiz:

Endi n-darajali xarakteristik tenglama uchun n ta aniqluvchilar mavjud.

Xarakteristik tenglamadan aniqluvchilarni yozish usulini ko'rib chiqaylik. K-darajali xarakteristik tenglama uchun qadam-qadam usul quyidagicha yozilgan:
Birinchi aniqluvchi : Ushbu aniqluvchinin qiymati |a1| ga teng, bu yerda a1 xarakteristik tenglamadagi sn-1 ning koeffitsienti.
Ikkinchi aniqluvchi : Ushbu aniqluvchinin qiymati

Har bir qatorning elementlari soni aniqluvchi raqamiga teng bo'lib, bu yerda aniqluvchi raqami ikki. Birinchi qatorning boshqa toq koeffitsientlari, ikkinchi qatorning esa boshqa juft koeffitsientlari bor.
Uchinchi aniqluvchi : Ushbu aniqluvchinin qiymati

Har bir qatorning elementlari soni aniqluvchi raqamiga teng bo'lib, bu yerda aniqluvchi raqami uch. Birinchi qatorning boshqa uch toq koeffitsienti, ikkinchi qatorning esa boshqa uch juft koeffitsienti, uchinchi qatorning esa birinchi elementi nol, qolgan ikki elementi esa boshqa uch toq koeffitsienti.
To'rtinchi aniqluvchi: Ushbu aniqluvchinin qiymati,

Har bir qatorning elementlari soni aniqluvchi raqamiga teng bo'lib, bu yerda aniqluvchi raqami to'rt. Birinchi qatorning boshqa to'rt koeffitsienti, ikkinchi qatorning esa boshqa to'rt juft koeffitsienti, uchinchi qatorning esa birinchi elementi nol, qolgan uch elementi esa boshqa to'rt toq koeffitsienti, to'rtinchi qatorning esa birinchi elementi nol, qolgan uch elementi esa boshqa to'rt juft koeffitsienti.

Bu usulni kengaytirib, aniqluvchilarni yaratish mumkin. Aniqluvchilar umumiy shakli quyidagicha:

Endi tizimning o'zgarisizligini tekshirish uchun, har bir aniqluvchining qiymatini hisoblaymiz. Agar har bir aniqluvchining qiymati musbat bo'lsa, ya'ni har bir aniqluvchining qiymati noldan katta bo'lsa, tizim o'zgarisiz bo'ladi. Boshqa hollarda tizim o'zgarisiz emas.

Routh o'zgarisizlik kriteriyasi

Bu kriteriya tizimning o'zgarisizlik shartlarini o'zgartirilgan Hurwitz kriteriyasi deb ham ataladi. Biz bu kriteriyani ikkita qismda o'rganamiz. Birinchi qism tizimning o'zgarisizlik uchun zaruri shartni, ikkinchi qism esa yetarli shartni o'z ichiga oladi. Yana bir bor tizimning xarakteristik tenglamasini ko'rib chiqaylik:

1) Birinchi qism (tizimning o'zgarisizlik uchun zaruri shart): Bu yerda ikkita shart mavjud:

1. Xarakteristik tenglamaning barcha koeffitsientlari musbat va haqiqiy bo'lishi kerak.

2. Xarakteristik tenglamaning barcha koeffitsientlari noldan farqli bo'lishi kerak.

2) Ikkinchi qism (tizimning o'zgarisizlik uchun yetarli shart): Routh jadvalini yaratish uchun quyidagi qadamlarni amalga oshiramiz:

• Birinchi qator xarakteristik tenglamadagi barcha juft hadlardan iborat bo'ladi. Ulardan birinchisidan oxirgisigacha tartiblab yoziladi. Birinchi qator quyidagicha yoziladi: a0 a2 a4 a6…………

• Ikkinchi qator xarakteristik tenglamadagi barcha toq hadlardan iborat bo'ladi. Ulardan birinchisidan oxirgisigacha tartiblab yoziladi. Ikkinchi qator quyidagicha yoziladi: a1 a3 a5 a7………..

• Uchinchi qatorning elementlari quyidagicha hisoblanadi:
  (1) Birinchi element : a0 keyingi ustundagi diagonal ravishda qarama-qarshi element (ya'ni a3) bilan ko'paytiriladi, natijada a1 va a2 (bu yerda a2 keyingi ustundagi diagonal ravishda qarama-qarshi element) ko'paytmasidan ayiriladi, natija a1 ga bo'linadi. Matematik ravishda quyidagicha yoziladi: birinchi element

(2) Ikkinchi element : a0 keyingi ustundagi diagonal ravishda qarama-qarshi element (ya'ni a5) bilan ko'paytiriladi, natijada a1 va a4 (bu yerda a4 keyingi ustundagi diagonal ravishda qarama-qarshi element) ko'paytmasidan ayiriladi, natija a1 ga bo'linadi. Matematik ravishda quyidagicha yoziladi: ikkinchi element

Shunday qilib, uchinchi qatorning barcha elementlari hisoblanishi mumkin.
(d) To'rtinchi qatorning elementlari quyidagi usul bilan hisoblanadi:
(1) Birinchi element : b1 keyingi ustundagi diagonal ravishda qarama-qarshi element (ya'ni a3) bilan ko'paytiriladi, natijada a1 va b2 (bu yerda b2 keyingi ustundagi diagonal ravishda qarama-qarshi element) ko'paytmasidan ayiriladi, natija b