Routh Hurwitz Stabilitet Kriteriyası

Şəbəkə sintezi nəzəriyyəsini oxuduktan sonra, sistemnin hər hansı bir qüvvəti s düzlemində mənfi yarıma düşərsə, sistem instabil olacaq deyilə bilər. Bu şərtlə əsaslanaraq A. Hurwitz və E.J.Routh sistem stabilliyi üçün lazımı və kifayət qədər şərtlərini araşdırmaya başladılar. Sistem stabilliyi üçün iki kriteriyi müzakirə edəcəyik. Birinci kriteriya A. Hurwitz tərəfindən verilmişdir və bu kriteriya Hurwitz Stabilliyi Kriteriyası və ya Routh-Hurwitz (R-H) Stabilliyi Kriteriyası adlandırılır.

Hurwitz Kriteriyası

Xarakteristik tənliyi ilə, sistem stabilliyini tapmaq üçün bir çox Hurwitz determinantları yaratacaq. Sistemin xarakteristik tənliyini belə tərif edirik

İndi n-ci mertebedən xarakteristik tənlik üçün n determinant var.

Xarakteristik tənliyin katsayılarından necə determinant yazılacağını görelək. k-ci mertebedən xarakteristik tənlik üçün addımlar aşagıda yazılmışdır:
Birinci determinant : Bu determinantın qiyməti |a1| kimi verilir, burada a1 xarakteristik tənlikdə sn-1-in katsayısıdır.
İkinci determinant : Bu determinantın qiyməti aşağıdakı kimi verilir

Hər sətrdəki elementlərin sayı determinant nömrəsinə bərabərdir və burada determinant nömrəsi iki-dir. Birinci sətr ilk iki tək katsayıdan ibarətdir, ikinci sətr isə ilk iki cüt katsayıdan ibarətdir.
Üçüncü determinant : Bu determinantın qiyməti aşağıdakı kimi verilir

Hər sətrdəki elementlərin sayı determinant nömrəsinə bərabərdir və burada determinant nömrəsi üçdür. Birinci sətr ilk üç tək katsayıdan, ikinci sətr ilk üç cüt katsayıdan, üçüncü sətr isə ilk elementi sıfır, digər iki elementi isə ilk iki tək katsayı olanlardan ibarətdir.
Dördüncü determinant: Bu determinantın qiyməti,

Hər sətrdəki elementlərin sayı determinant nömrəsinə bərabərdir və burada determinant nömrəsi dördür. Birinci sətr ilk dörd katsayıdan, ikinci sətr ilk dörd cüt katsayıdan, üçüncü sətr ilk elementi sıfır, digər üç elementi ilk üç tək katsayı olanlardan, dördüncü sətr isə ilk elementi sıfır, digər üç elementi ilk üç cüt katsayı olanlardan ibarətdir.

Eyni proseduru izləyərək determinantların formalaşmasını ümumiləşdirə bilərik. Determinantların ümumi forması aşağıdakı kimi verilir:

Yuxarıdakı sistemin stabilliyini yoxlamaq üçün hər bir determinantın qiymətini hesablayın. Sistem yalnız və yalnız hər bir determinantın qiymətinin sıfırdan böyük olması, yəni hər bir determinantın qiymətinin müsbət olması halında stabildir. Bütün digər hallarda sistem stabilləşməyəcəkdir.

Routh Stabilliyi Kriteriyası

Bu kriteriya, sistemin stabilliyi üçün dəyişdirilmiş Hurwitz Kriteriyası kimi də tanınıb. Bu kriteriyani iki hissədə öyrənəcəyik. Birinci hissə sistem stabilliyi üçün lazımı şərtləri, ikinci hissə isə sistem stabilliyi üçün kifayət qədər şərtləri örtəcək. Yenidən sistemin xarakteristik tənliyinə baxaq

1) Birinci hissə (sistemin stabilliyi üçün lazımı şərtlər): Burada iki şərt var ki, aşağıda yazılmışdır:

1. Xarakteristik tənliyin bütün katsayıları müsbət və həqiqi olmalıdır.

2. Xarakteristik tənliyin bütün katsayıları sıfırdan fərqli olmalıdır.

2) İkinci hissə (sistemin stabilliyi üçün kifayət qədər şərtlər): Öncə Routh massivini inşa edək. Routh massivini inşa etmək üçün aşağıdakı addımları izləyin:

• Birinci sətr xarakteristik tənlikdən bütün cüt terimləri içerecek. Onları ilk (cüt terim) dən sonuncu (cüt terim) qədər sıralayın. Birinci sətr aşağıdakı kimi yazılmışdır: a0 a2 a4 a6…………

• İkinci sətr xarakteristik tənlikdən bütün tək terimləri içerecek. Onları ilk (tək terim) dən sonuncu (tək terim) qədər sıralayın. İkinci sətr aşağıdakı kimi yazılmışdır: a1 a3 a5 a7………..

• Üçüncü sətrin elementləri aşağıdakı kimi hesablanır:
  (1) Birinci element : a0 ilə onun diaqonal olaraq qarşı tərəfdəki növbəti sütundakı element (yəni a3) hasilini alaraq, bu hasilin a1 və a2 (burada a2 növbəti sütundakı diaqonal olaraq qarşı tərəfdəki elementdir) hasilinə çıxırıq, sonra nəticəni a1-ə bölürük. Matematik olaraq birinci elementi aşağıdakı kimi yazırıq

(2) İkinci element : a0 ilə onun diaqonal olaraq qarşı tərəfdəki növbəti-növbəti sütundakı elementin (yəni a5) hasilini alırıq, sonra bu hasilin a1 və a4 (burada a4 növbəti-növbəti sütundakı diaqonal olaraq qarşı tərəfdəki elementdir) hasilinə çıxırıq, sonra nəticəni a1-ə bölürük. Matematik olaraq ikinci elementi aşağıdakı kimi yazırıq

Üçüncü sətrin bütün elementlərini eyni metodla hesablaya bilərik.
(d) Dördüncü sətrin elementləri aşağıdakı prosedura əsasən hesablanır:
(1) Birinci element : b1 ilə onun diaqonal olaraq qarşı tərəfdəki növbəti sütundakı elementin (yəni a3) hasilini alırıq, sonra bu hasilin a1 və b2 (burada b