Kriterij stabilnosti Routh-Hurwitz
Po prebranju teorije sinteze omrežja lahko z gotovostjo trdimo, da če se kakšen pol sistema nahaja na desni strani izhodišča s-ravnine, sistem postane nestabilen. Na podlagi tega pogoja sta A. Hurwitz in E.J. Routh začela raziskovati potrebne in dovoljne pogoje za stabilnost sistema. Razpravljali bomo o dveh kriterijih za stabilnost sistema. Prvi kriterij je podal A. Hurwitz in ta kriterij je znana tudi kot Hurwitzev kriterij za stabilnost ali Routh-Hurwitz (R-H) kriterij stabilnosti.
Hurwitzev kriterij
S pomočjo karakteristične enačbe bomo ustvarili več Hurwitzevih determinantom, da bi ugotovili stabilnost sistema. Definiramo karakteristično enačbo sistema kot
Za n-to stopnjo karakteristične enačbe obstajajo n determinante.
Poglejmo, kako lahko zapišemo determinante iz koeficientov karakteristične enačbe. Postopek za k-to stopnjo karakteristične enačbe je naveden spodaj:
Determinanta ena : Vrednost te determinante je dana s |a1|, kjer je a1 koeficient sn-1 v karakteristični enačbi.
Determinanta dva : Vrednost te determinante je dana s
Število elementov v vsaki vrstici je enako številu determinante, ki ga tu imamo za dva. Prva vrstica vsebuje prva dva liha koeficienta, druga vrstica pa prva dva soda koeficienta.
Determinanta tri : Vrednost te determinante je dana s
Število elementov v vsaki vrstici je enako številu determinante, ki ga tu imamo za tri. Prva vrstica vsebuje prva tri liha koeficienta, druga vrstica pa prva tri soda koeficienta, tretja vrstica pa ima prvi element nič in ostala dva elementa sta prva dva liha koeficienta.
Determinanta štiri: Vrednost te determinante je dana s,
Število elementov v vsaki vrstici je enako številu determinante, ki ga tu imamo za štiri. Prva vrstica vsebuje prva štiri koeficienta, druga vrstica pa prva štiri soda koeficienta, tretja vrstica pa ima prvi element nič in ostala tri elementa so prva tri liha koeficienta, četrta vrstica pa ima prvi element nič in ostala tri elementa so prva tri soda koeficienta.
Z uporabo istega postopka lahko posplošimo obliko determinant. Splošna oblika determinante je podana spodaj:
Za preverjanje stabilnosti zgornjega sistema izračunajte vrednost vsake determinante. Sistem bo stabilen, samo in samo, če je vrednost vsake determinante večja od nič, torej mora biti vrednost vsake determinante pozitivna. V vseh drugih primerih sistem ne bo stabilen.
Routhov kriterij stabilnosti
Ta kriterij je tudi znan kot modificiran Hurwitzev kriterij stabilnosti sistema. Ta kriterij bomo raziskovali v dveh delih. Prvi del bo obravnaval potrebne pogoje za stabilnost sistema, drugi del pa dovoljne pogoje za stabilnost sistema. Ponovno upoštevajmo karakteristično enačbo sistema kot
1) Prvi del (potrebni pogoji za stabilnost sistema): Tu imamo dva pogoja, ki sta navedena spodaj:
Vsi koeficienti karakteristične enačbe morajo biti pozitivni in realni.
Vsi koeficienti karakteristične enačbe morajo biti neničelni.
2) Drugi del (dovoljni pogoji za stabilnost sistema): Najprej sestavimo Routhovo tabelo. Za sestavljanje Routhove tabele sledite tem korakom:
Prva vrstica bo vsebovala vse soda koeficiente karakteristične enačbe. Jih razporedite od prvega (sodega koeficienta) do zadnjega (sodega koeficienta). Prva vrstica je navedena spodaj: a0 a2 a4 a6…………
Druga vrstica bo vsebovala vse lihe koeficiente karakteristične enačbe. Jih razporedite od prvega (lihega koeficienta) do zadnjega (lihega koeficienta). Prva vrstica je navedena spodaj: a1 a3 a5 a7………..
Elementi tretje vrstice se lahko izračunajo kot:
(1) Prvi element : Pomnožite a0 s diagonalo nasproti naslednji stolpec (tj. a3) nato odštejte to od produkta a1 in a2 (kjer je a2 diagonalo nasproti naslednji stolpec) in nato končno delite rezultat, ki ga dobite, z a1. Matematično zapišemo prvi element kot
(2) Drugi element : Pomnožite a0 s diagonalo nasproti naslednji stolpec (tj. a5) nato odštejte to od produkta a1 in a4 (kjer je a4 diagonalo nasproti naslednji stolpec) in nato končno delite rezultat, ki ga dobite, z a1. Matematično zapišemo drugi element kot
Podobno lahko izračunamo vse elemente tretje vrstice.
(d) Elementi četrte vrstice se lahko izračunajo z uporabo naslednjega postopka:
(1) Prvi element : Pomnožite b1 s diagonalo nasproti naslednji stolpec (tj. a3) nato odštejte to od produkta a1 in b2 (kjer je b2 diagonalo nasproti naslednji stolpec) in nato končno delite rezultat, ki ga dobite, z b1. Matematično zapišemo prvi element kot
