Mwongozo wa Usalama wa Routh Hurwitz
Baada ya kusoma hadithi ya ujazaji wa mtandao, tunaweza kusema rahisi kwamba chochote pole la mfumo liko upande wa kulia wa msingi wa s-plane, hii hutengeneza mfumo kutokuwa na usalama. Kulingana na hali hii, A. Hurwitz na E.J.Routh wakapitisha kutafuta masharti yanayohitajika na zinazosafi kwa usalama wa mfumo. Tutadiskuta matumizi mawili ya usalama wa mfumo. Matumizi yamo ya kwanza yalinipeleka na A. Hurwitz na matumizi haya yanaeleweka pia kama Matumizi ya Hurwitz ya usalama au Mkakati wa Usalama wa Routh Hurwitz (R-H).
Matumizi ya Hurwitz
Kwa kutumia mwisho wa muhimu, tutatengeneza hesabu nyingi za determinants za Hurwitz ili kupata usalama wa mfumo. Tunaeleweka mwisho muhimu wa mfumo kama
Sasa kuna determinants n kwa mwisho muhimu wa nth.
Tutainua jinsi tunavyoweza kuandaa determinants kutoka kwa viwango vya mwisho muhimu. Mzunguko wa hatua kwa mwisho muhimu wa kth unanandikwa chini:
Determinant moja : Thamani ya determinant hii inatoa na |a1| ambako a1 ni viwango vya sn-1 katika mwisho muhimu.
Determinant mbili : Thamani ya determinant hii inatoa na
Hapa idadi ya viwango katika kila mstari ni sawa na namba ya determinant na tuna namba ya determinant hapa ni mbili. Mstari wa kwanza una viwango vyenye namba isiyofanikiwa na mstari wa pili una viwango vyenye namba ifanikiwa.
Determinant tatu : Thamani ya determinant hii inatoa na
Hapa idadi ya viwango katika kila mstari ni sawa na namba ya determinant na tuna namba ya determinant hapa ni tatu. Mstari wa kwanza una viwango vyenye namba isiyofanikiwa, mstari wa pili una viwango vyenye namba ifanikiwa na mstari wa tatu una viwango vya kwanza kama sifuri na viwango vingine vyenye namba isiyofanikiwa.
Determinant nne: Thamani ya determinant hii inatoa na,
Hapa idadi ya viwango katika kila mstari ni sawa na namba ya determinant na tuna namba ya determinant hapa ni nne. Mstari wa kwanza una viwango vyenye namba isiyofanikiwa, mstari wa pili una viwango vyenye namba ifanikiwa, mstari wa tatu una viwango vya kwanza kama sifuri na viwango vingine vyenye namba isiyofanikiwa na mstari wa nne una viwango vya kwanza kama sifuri na viwango vingine vyenye namba ifanikiwa.
Kwa kutumia mzunguko wa hatua ujao, tunaweza kutengeneza determinants. Muundo umbo wa determinant unanandikwa chini:
Sasa kwa kutathmini usalama wa mfumo huu, hisabu thamani ya kila determinant. Mfumo utakuwa na usalama tu ikiwa thamani ya kila determinant itakuwa zaidi ya sifuri, maana thamani ya kila determinant inapaswa kuwa nzuri. Katika majukumu yote mengine, mfumo hautakuwa na usalama.
Mkakati wa Usalama wa Routh
Mkakati huu unaeleweka pia kama mkakati wa Hurwitz uliyobadilishwa wa usalama wa mfumo. Tutajifunza mkakati huu kwa mbili. Sehemu moja itakusanya masharti yanayohitajika kwa usalama wa mfumo na sehemu mbili itakusanya masharti yanazosafi kwa usalama wa mfumo. Tukaangalia tena mwisho muhimu wa mfumo kama
1) Sehemu moja (masharti yanayohitajika kwa usalama wa mfumo): Hapa tuna masharti mawili ambayo yameandikwa chini:
Viwango vyenye namba vyote vya mwisho muhimu vinapaswa kuwa nzuri na halisi.
Viwango vyenye namba vyote vya mwisho muhimu vinapaswa kuwa sio sifuri.
2) Sehemu mbili (masharti yanazosafi kwa usalama wa mfumo): Tuangalie kwanza kurudia rudi. Kulingana na kurudia rudi, tumia hatua hizi:
Mstari wa kwanza utakuwa na viwango vyenye namba ifanikiwa vyenye mwisho muhimu. Wapeleka wao kutoka kwa kwanza (viwango vyenye namba ifanikiwa) hadi mwisho (viwango vyenye namba ifanikiwa). Mstari wa kwanza unanandikwa chini: a0 a2 a4 a6…………
Mstari wa pili utakuwa na viwango vyenye namba isiyofanikiwa vyenye mwisho muhimu. Wapeleka wao kutoka kwa kwanza (viwango vyenye namba isiyofanikiwa) hadi mwisho (viwango vyenye namba isiyofanikiwa). Mstari wa kwanza unanandikwa chini: a1 a3 a5 a7………..
Viepeleke vya mstari wa tatu vinaweza kuhisabuliwa kama:
(1) Viepeleke vya kwanza : Zidhibiti a0 kwa viwango vya diagonally opposite vya mstari mwingine (ambako a3) basi toa hii kutokana na bidhaa ya a1 na a2 (ambako a2 ni viwango vya diagonally opposite vya mstari mwingine) basi basi toa matokeo hayo kwa a1. Kwa hisabati tunanandikia kama viepeleke vya kwanza
(2) Viepeleke vya pili : Zidhibiti a0 kwa viwango vya diagonally opposite vya mstari mwingine (ambako a5) basi toa hii kutokana na bidhaa ya a1 na a4 (ambako, a4 ni viwango vya diagonally opposite vya mstari mwingine) basi basi toa matokeo hayo kwa a1. Kwa hisabati tunanandikia kama viepeleke vya pili
Vivyo hivyo, tunaweza kuhisabuli viepeleke vyote vya mstari wa tatu.
(d) Viepeleke vya mstari wa nne vinaweza kuhisabuliwa kwa kutumia hatua hizi:
(1) Viepeleke vya kwanza : Zidhibiti b1 kwa viwango vya diagonally opposite vya mstari mwingine (ambako a3) basi toa hii kutokana na bidhaa ya a1 na b
