Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Após ler a teoria da síntese de redes, podemos dizer facilmente que qualquer polo do sistema que se encontra no lado direito da origem do plano s torna o sistema instável. Com base nesta condição, A. Hurwitz e E.J. Routh começaram a investigar as condições necessárias e suficientes para a estabilidade de um sistema. Vamos discutir dois critérios para a estabilidade do sistema. O primeiro critério é dado por A. Hurwitz e este critério também é conhecido como Critério de Hurwitz para estabilidade ou Critério de Estabilidade de Routh Hurwitz (R-H).
Critério de Hurwitz
Com a ajuda da equação característica, faremos uma série de determinantes de Hurwitz para descobrir a estabilidade do sistema. Definimos a equação característica do sistema como
Agora, existem n determinantes para a equação característica de ordem nésima.
Vejamos como podemos escrever determinantes a partir dos coeficientes da equação característica. O procedimento passo a passo para a equação característica de ordem késima está escrito abaixo:
Determinante um : O valor deste determinante é dado por |a1| onde a1 é o coeficiente de sn-1 na equação característica.
Determinante dois : O valor deste determinante é dado por
O número de elementos em cada linha é igual ao número do determinante e temos aqui o número do determinante dois. A primeira linha consiste nos dois primeiros coeficientes ímpares e a segunda linha consiste nos dois primeiros coeficientes pares.
Determinante três : O valor deste determinante é dado por
O número de elementos em cada linha é igual ao número do determinante e temos aqui o número do determinante três. A primeira linha consiste nos três primeiros coeficientes ímpares, a segunda linha consiste nos três primeiros coeficientes pares e a terceira linha consiste no primeiro elemento como zero e os outros dois elementos como os dois primeiros coeficientes ímpares.
Determinante quatro: O valor deste determinante é dado por,
O número de elementos em cada linha é igual ao número do determinante e temos aqui o número do determinante quatro. A primeira linha consiste nos quatro primeiros coeficientes, a segunda linha consiste nos quatro primeiros coeficientes pares, a terceira linha consiste no primeiro elemento como zero e os outros três elementos como os três primeiros coeficientes ímpares, a quarta linha consiste no primeiro elemento como zero e os outros três elementos como os três primeiros coeficientes pares.
Seguindo o mesmo procedimento, podemos generalizar a formação do determinante. A forma geral do determinante é dada abaixo:
Agora, para verificar a estabilidade do sistema acima, calcule o valor de cada determinante. O sistema será estável se, e somente se, o valor de cada determinante for maior que zero, ou seja, o valor de cada determinante deve ser positivo. Em todos os outros casos, o sistema não será estável.
Critério de Estabilidade de Routh
Este critério também é conhecido como Critério de Hurwitz Modificado para a estabilidade do sistema. Vamos estudar este critério em duas partes. A primeira parte abordará a condição necessária para a estabilidade do sistema e a segunda parte abordará a condição suficiente para a estabilidade do sistema. Consideremos novamente a equação característica do sistema como
1) Parte um (condição necessária para a estabilidade do sistema): Nesta temos duas condições que são escritas abaixo:
Todos os coeficientes da equação característica devem ser positivos e reais.
Todos os coeficientes da equação característica devem ser não nulos.
2) Parte dois (condição suficiente para a estabilidade do sistema): Vamos primeiro construir a tabela de Routh. Para construir a tabela de Routh, siga estes passos:
A primeira linha conterá todos os termos pares da equação característica. Organize-os do primeiro (termo par) ao último (termo par). A primeira linha é escrita abaixo: a0 a2 a4 a6…………
A segunda linha conterá todos os termos ímpares da equação característica. Organize-os do primeiro (termo ímpar) ao último (termo ímpar). A segunda linha é escrita abaixo: a1 a3 a5 a7………..
Os elementos da terceira linha podem ser calculados como:
(1) Primeiro elemento : Multiplique a0 com o elemento diagonalmente oposto da coluna seguinte (ou seja, a3) e subtraia isso do produto de a1 e a2 (onde a2 é o elemento diagonalmente oposto da coluna seguinte) e, finalmente, divida o resultado obtido com a1. Matematicamente, escrevemos o primeiro elemento como
(2) Segundo elemento : Multiplique a0 com o elemento diagonalmente oposto da coluna seguinte (ou seja, a5) e subtraia isso do produto de a1 e a4 (onde a4 é o elemento diagonalmente oposto da coluna seguinte) e, finalmente, divida o resultado obtido com a1. Matematicamente, escrevemos o segundo elemento como
Da mesma forma, podemos calcular todos os elementos da terceira linha.
(d) Os elementos da quarta linha podem ser calculados usando o seguinte procedimento:
(1) Primeiro elemento : Multiplique b1 com o elemento diagonalmente oposto da coluna seguinte (ou seja, a3) e subtraia isso do produto de a1 e b2 (onde b2 é o elemento diagonalmente oposto da coluna seguinte) e, finalmente, divida o resultado obtido com b1. Matematicamente, escrevemos o primeiro elemento como
(2) Segundo elemento : Multiplique b1 com o elemento diagonalmente oposto da coluna seguinte (ou seja
