معیار پایداری رات-هرویتز

پس از مطالعه تئوری سنتز شبکه، می‌توانیم به راحتی بگوییم که هر قطب سیستم که در سمت راست مبدأ صفحه s قرار دارد، سیستم را ناپایدار می‌کند. بر اساس این شرط، A. Hurwitz و E.J.Routh شروع به بررسی شرایط لازم و کافی پایداری سیستم کردند. ما دو معیار برای پایداری سیستم را بحث خواهیم کرد. اولین معیار توسط A. Hurwitz ارائه شده و این معیار نیز به عنوان معیار Hurwitz برای پایداری یا معیار پایداری Routh-Hurwitz (R-H) شناخته می‌شود.

معیار Hurwitz

با استفاده از معادله مشخصه، ما تعدادی تعیین‌کننده Hurwitz را برای یافتن پایداری سیستم ایجاد می‌کنیم. ما معادله مشخصه سیستم را به صورت زیر تعریف می‌کنیم

حالا برای معادله مشخصه مرتبه n، n تعیین‌کننده وجود دارد.

بیایید ببینیم چگونه می‌توانیم تعیین‌کننده‌ها را از ضرایب معادله مشخصه بنویسیم. روش مرحله‌ای برای معادله مشخصه مرتبه kام زیر آمده است:
تعیین‌کننده اول : مقدار این تعیین‌کننده توسط |a1| داده می‌شود که a1 ضریب sn-1 در معادله مشخصه است.
تعیین‌کننده دوم : مقدار این تعیین‌کننده توسط

در اینجا تعداد عناصر در هر ردیف با شماره تعیین‌کننده برابر است و شماره تعیین‌کننده در اینجا دو است. ردیف اول شامل دو ضریب فرد اول است و ردیف دوم شامل دو ضریب زوج اول است.
تعیین‌کننده سوم : مقدار این تعیین‌کننده توسط

در اینجا تعداد عناصر در هر ردیف با شماره تعیین‌کننده برابر است و شماره تعیین‌کننده در اینجا سه است. ردیف اول شامل سه ضریب فرد اول است، ردیف دوم شامل سه ضریب زوج اول است و ردیف سوم شامل اولین عنصر صفر و بقیه دو عنصر اولین ضرایب فرد است.
تعیین‌کننده چهارم: مقدار این تعیین‌کننده توسط،

در اینجا تعداد عناصر در هر ردیف با شماره تعیین‌کننده برابر است و شماره تعیین‌کننده در اینجا چهار است. ردیف اول شامل چهار ضریب اول است، ردیف دوم شامل چهار ضریب زوج اول است، ردیف سوم شامل اولین عنصر صفر و بقیه سه عنصر اولین ضرایب فرد است و ردیف چهارم شامل اولین عنصر صفر و بقیه سه عنصر اولین ضرایب زوج است.

با دنبال کردن همان روش، می‌توانیم تشکیل تعیین‌کننده را عمومی کنیم. فرم عمومی تعیین‌کننده زیر آمده است:

حالا برای بررسی پایداری سیستم فوق، مقدار هر تعیین‌کننده را محاسبه کنید. سیستم فقط و فقط وقتی پایدار است که مقدار هر تعیین‌کننده بزرگتر از صفر باشد، یعنی مقدار هر تعیین‌کننده باید مثبت باشد. در تمام موارد دیگر سیستم پایدار نخواهد بود.

معیار پایداری Routh

این معیار نیز به عنوان معیار حرفه‌ای‌شده Hurwitz برای پایداری سیستم شناخته می‌شود. ما این معیار را در دو بخش مطالعه خواهیم کرد. بخش اول شرایط لازم برای پایداری سیستم را پوشش می‌دهد و بخش دوم شرایط کافی برای پایداری سیستم را پوشش می‌دهد. بیایید دوباره معادله مشخصه سیستم را در نظر بگیریم

1) بخش اول (شرایط لازم برای پایداری سیستم): در اینجا دو شرط وجود دارد که زیر آمده است:

1. تمام ضرایب معادله مشخصه باید مثبت و حقیقی باشند.

2. تمام ضرایب معادله مشخصه باید غیرصفر باشند.

2) بخش دوم (شرایط کافی برای پایداری سیستم): بیایید ابتدا آرایه Routh را ساخته کنیم. برای ساختن آرایه Routh، مراحل زیر را دنبال کنید:

• ردیف اول شامل تمام ضرایب زوج معادله مشخصه خواهد بود. آن‌ها را از اول (ضریب زوج) تا آخر (ضریب زوج) مرتب کنید. ردیف اول به صورت زیر نوشته می‌شود: a0 a2 a4 a6…………

• ردیف دوم شامل تمام ضرایب فرد معادله مشخصه خواهد بود. آن‌ها را از اول (ضریب فرد) تا آخر (ضریب فرد) مرتب کنید. ردیف دوم به صورت زیر نوشته می‌شود: a1 a3 a5 a7………..

• عناصر ردیف سوم می‌توانند به صورت زیر محاسبه شوند:
  (1) اولین عنصر : a0 را با عنصر قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a3) ضرب کنید، سپس این مقدار را از حاصلضرب a1 و a2 (که a2 عنصر قطری مقابل ستون بعدی است) کم کنید و سپس نتیجه را با a1 تقسیم کنید. ریاضیاً این مقدار را به صورت زیر می‌نویسیم:
  
  (2) دومین عنصر : a0 را با عنصر قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a5) ضرب کنید، سپس این مقدار را از حاصلضرب a1 و a4 (که a4 عنصر قطری مقابل ستون بعدی است) کم کنید و سپس نتیجه را با a1 تقسیم کنید. ریاضیاً این مقدار را به صورت زیر می‌نویسیم:
  
  به همین ترتیب، می‌توانیم تمام عناصر ردیف سوم را محاسبه کنیم.
  (d) عناصر ردیف چهارم می‌توانند با استفاده از روش زیر محاسبه شوند:
  (1) اولین عنصر : b1 را با عنصر قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a3) ضرب کنید، سپس این مقدار را از حاصلضرب a

  انعام