Критерій стабільності Раута-Гурвіца

Після вивчення теорії синтезу мереж, ми можемо легко сказати, що будь-який полюс системи, який знаходиться праворуч від початку координат на площині s, робить систему нестабільною. На основі цієї умови А. Гурвіц і Е.Дж. Раут почали досліджувати необхідні та достатні умови стабільності системи. Ми обговоримо два критерії стабільності системи. Перший критерій був запропонований А. Гурвіцем, і цей критерій також відомий як критерій стабільності Гурвіца або критерій стабільності Раута-Гурвіца (Р-Г).

Критерій Гурвіца

З допомогою характеристичного рівняння, ми будемо формулювати ряд детермінант Гурвіца, щоб визначити стабільність системи. Ми визначаємо характеристичне рівняння системи як

Тепер для характеристичного рівняння n-го порядку існує n детермінант.

Подивімось, як ми можемо записати детермінанти з коефіцієнтів характеристичного рівняння. Послідовний процес для k-го порядкового характеристичного рівняння наведено нижче:
Перша детермінанта : Значення цієї детермінанти дорівнює |a1|, де a1 — це коефіцієнт sn-1 в характеристичному рівнянні.
Друга детермінанта : Значення цієї детермінанти дорівнює

Тут число елементів у кожному рядку дорівнює номеру детермінанти, і ми маємо номер детермінанти, який тут дорівнює двом. Перший рядок складається з перших двох непарних коефіцієнтів, а другий рядок — з перших двох парних коефіцієнтів.
Третя детермінанта : Значення цієї детермінанти дорівнює

Тут число елементів у кожному рядку дорівнює номеру детермінанти, і ми маємо номер детермінанти, який тут дорівнює трьом. Перший рядок складається з перших трьох непарних коефіцієнтів, другий рядок — з перших трьох парних коефіцієнтів, а третій рядок складається з першого елемента як нуль, а решта двох елементів — перші два непарні коефіцієнти.
Четверта детермінанта: Значення цієї детермінанти дорівнює,

Тут число елементів у кожному рядку дорівнює номеру детермінанти, і ми маємо номер детермінанти, який тут дорівнює чотирьом. Перший рядок складається з перших чотирьох коефіцієнтів, другий рядок — з перших чотирьох парних коефіцієнтів, третій рядок складається з першого елемента як нуль, а решта трьох елементів — перші три непарні коефіцієнти, четвертий рядок складається з першого елемента як нуль, а решта трьох елементів — перші три парні коефіцієнти.

Виконуючи ту саму процедуру, ми можемо узагальнити формування детермінант. Загальна форма детермінанти наведена нижче:

Щоб перевірити стабільність даної системи, обчислимо значення кожної детермінанти. Система буде стабільною, якщо і тільки якщо значення кожної детермінанти більше за нуль, тобто значення кожної детермінанти повинно бути додатним. У всіх інших випадках система не буде стабільною.

Критерій стабільності Раута

Цей критерій також відомий як модифікований критерій стабільності Гурвіца. Ми вивчимо цей критерій у двох частинах. Перша частина охопить необхідну умову стабільності системи, а друга частина — достатню умову стабільності системи. Розглянемо знову характеристичне рівняння системи як

1) Перша частина (необхідна умова стабільності системи): Тут ми маємо дві умови, які наведені нижче:

1. Усі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути додатними і реальними.

2. Усі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути ненульовими.

2) Друга частина (достатня умова стабільності системи): Спочатку побудуємо таблицю Раута. Щоб побудувати таблицю Раута, слідуйте цим крокам:

• Перший рядок буде складатися з усіх парних членів характеристичного рівняння. Впорядкуйте їх від першого (парний член) до останнього (парний член). Перший рядок наведений нижче: a0 a2 a4 a6…………

• Другий рядок буде складатися з усіх непарних членів характеристичного рівняння. Впорядкуйте їх від першого (непарний член) до останнього (непарний член). Другий рядок наведений нижче: a1 a3 a5 a7………..

• Елементи третього рядка можна обчислити так:
  (1) Перший елемент : Помножте a0 на діагонально протилежний елемент наступного стовпця (тобто a3), а потім відніміть це від добутку a1 і a2 (де a2 — це діагонально протилежний елемент наступного стовпця), а потім нарешті поділіть отриманий результат на a1. Математично ми пишемо як перший елемент

(2) Другий елемент : Помножте a0 на діагонально протилежний елемент наступного стовпця (тобто a5), а потім відніміть це від добутку a1 і a4 (де a4 — це діагонально протилежний елемент наступного стовпця), а потім нарешті поділіть отриманий результат на a1. Математично ми пишемо як другий елемент

Аналогічно, ми можемо обчислити всі елементи третього рядка.
(d) Елементи четвертого рядка можна обчислити, використовуючи наступну процедуру:
(1) Перший елемент : Помножте b