קריטריון יציבות רות-הורוויץ
אחרי קריאת התאוריה של הרכבת רשת, ניתן לומר בקלות שכל קטב של המערכת שנמצא מימין לראשית במישור s גורם לinstability במערכת. על בסיס התנאי הזה, A. Hurwitz ו-E.J.Routh החלו לחקור את התנאים הנדרשים והמספיקים עבור יציבות מערכת. נדון בשני קריטריונים ליציבות של המערכת. הקריטריון הראשון נתון על ידי A. Hurwitz וקריטריון זה ידוע גם כ-קריטריון Hurwitz ליציבות או קריטריון יציבות Routh-Hurwitz (R-H).
קריטריון Hurwitz
בעזרת המשוואה האופיינית, ניצור מספר דטרמיננטות Hurwitz כדי למצוא את יציבות המערכת. אנו מגדירים את המשוואה האופיינית של המערכת כ-
כעת יש n דטרמיננטות עבור משוואה אופיינית מסדר nth.
נראה כיצד ניתן לכתוב דטרמיננטות מקoefficients המשוואה האופיינית. ההליך שלב אחר שלב למשוואה אופיינית מסדר kth כתוב להלן:
דטרמיננטה אחת : ערכה של דטרמיננטה זו הוא |a1| כאשר a1 הוא המקדם של sn-1 במשוואה האופיינית.
דטרמיננטה שתיים : ערכה של דטרמיננטה זו הוא
כאן מספר האיברים בכל שורה שווה למספר הדטרמיננטה ואנו כאן יש לנו מספר דטרמיננטה שהוא שתיים. השורה הראשונה כוללת שני המקדמים האי-זוגיים הראשונים והשורה השנייה כוללת שני המקדמים הזוגיים הראשונים.
דטרמיננטה שלוש : ערכה של דטרמיננטה זו הוא
כאן מספר האיברים בכל שורה שווה למספר הדטרמיננטה ואנו כאן יש לנו מספר דטרמיננטה שהוא שלוש. השורה הראשונה כוללת שלושה מקדמים אי-זוגיים ראשונים, השורה השנייה כוללת שלושה מקדמים זוגיים ראשונים והשורה השלישית כוללת איבר ראשון כ-0 ושני האיברים הבאים כמקדמי אי-זוגיים ראשונים.
דטרמיננטה ארבע: ערכה של דטרמיננטה זו הוא,
כאן מספר האיברים בכל שורה שווה למספר הדטרמיננטה ואנו כאן יש לנו מספר דטרמיננטה שהוא ארבע. השורה הראשונה כוללת ארבעה מקדמים ראשונים, השורה השנייה כוללת ארבעה מקדמים זוגיים ראשונים, השורה השלישית כוללת איבר ראשון כ-0 ושלושת האיברים הבאים כמקדמי אי-זוגיים ראשונים והשורה הרביעית כוללת איבר ראשון כ-0 ושלושת האיברים הבאים כמקדמי זוגיים ראשונים.
על ידי מעבר באותו תהליך ניתן להכליל את בניית הדטרמיננטה. הצורה הכללית של הדטרמיננטה היא:
כדי לבדוק את יציבות המערכת הנ"ל, חשב את ערך כל דטרמיננטה. המערכת תהיה יציבה רק אם ערך כל דטרמיננטה גדול מ-0, כלומר ערך כל דטרמיננטה צריך להיות חיובי. בכל המקרים האחרים המערכת לא תהיה יציבה.
קריטריון יציבות Routh
קריטריון זה ידוע גם כקריטריון Hurwitz המעודכן ליציבות המערכת. נלמד את הקריטריון הזה בשני חלקים. החלק הראשון יכסה את התנאי הנדרש ליציבות המערכת והחלק השני יכסה את התנאי הספיק ליציבות המערכת. שוב ניקח בחשבון את המשוואה האופיינית של המערכת כ-
1) חלק אחד (תנאי הכרחי ליציבות המערכת):десь мы имеем два условия, которые приведены ниже:
כל המקדמים של המשוואה האופיינית צריכים להיות חיוביים ואמיתיים.
כל המקדמים של המשוואה האופיינית צריכים להיות שונים מאפס.
2) חלק שני (תנאי מספיק ליציבות המערכת): נבנה קודם טבלה Routh. כדי לבנות את טבלת Routh לעקוב אחרי השלבים הבאים:
השורה הראשונה תכלול את כל האיברים הזוגיים של המשוואה האופיינית. סדר אותם מהראשון (איבר זוגי) עד האחרון (איבר זוגי). השורה הראשונה כתובה להלן: a0 a2 a4 a6…………
השורה השנייה תכלול את כל האיברים האי-זוגיים של המשוואה האופיינית. סדר אותם מהראשון (איבר אי-זוגי) עד האחרון (איבר אי-זוגי). השורה הראשונה כתובה להלן: a1 a3 a5 a7………..
האיברים של השורה השלישית יכולים לחושב כך:
(1) איבר ראשון : כפל a0 עם האיבר הנמצא באלכסון בעמודה הבאה (כלומר a3) ואז פחות את זה מכפלת a1 ו-a2 (כאשר a2 הוא האיבר הנמצא באלכסון בעמודה הבאה) ואז לבסוף חלוקת התוצאה כך שנקבל עם a1. מתמטית אנו כותבים כאיבר ראשון
(2) איבר שני : כפל a0 עם האיבר הנמצא באלכסון בעמודה הבאה (כלומר a5) ואז פחות את זה מכפלת a1 ו-a4 (כאשר, a4 הוא האיבר הנמצא באלכסון בעמודה הבאה) ואז לבסוף חלוקת התוצאה כך שנקבל עם a1. מתמטית אנו כותבים כאיבר שני
באופן דומה, ניתן לחשב את כל האיברים של השורה השלישית.
(d) האיברים של השורה הרביעית יכולים לחושב באמצעות הפרוצדורה הבאה:
(1) איבר ראשון : כפל b1 עם האיבר הנמצא באלכסון בעמודה הבאה (כלומר a3) ואז פחות את זה מכפלת a1 ו-b2 (כאשר, b2 הוא האיבר הנמצא באלכסון בעמודה הבאה) ואז לבסוף חלוקת התוצאה כך שנקבל עם b1. מתמטית אנו כותבים כאיבר ראשון
מומלץ
