Routh Hurwitz Stabiliteitskriterium

Na die teorie van netwerk-sintese gelees het, kan ons maklik sê dat enige pool van die stelsel wat op die regterkant van die oorsprong van die s-vlak lê, die stelsel onstabiel maak. Op grond van hierdie voorwaarde het A. Hurwitz en E.J. Routh begin ondersoek na die nodige en voldoende voorwaardes vir die stabiliteit van 'n stelsel. Ons sal twee kriteria vir die stabiliteit van die stelsel bespreek. Die eerste kriterium is deur A. Hurwitz gegee en word ook bekend as die Hurwitz Kriterium vir stabiliteit of Routh Hurwitz (R-H) Stabiliteitskriterium.

Hurwitz Kriterium

Met behulp van die karakteristieke vergelyking, sal ons 'n aantal Hurwitz determinante maak om die stabiliteit van die stelsel te vind. Ons definieer die karakteristieke vergelyking van die stelsel as

Daar is n determinante vir 'n nde orde karakteristieke vergelyking.

Laat ons kyk hoe ons determinante kan skryf vanaf die koëffisiënte van die karakteristieke vergelyking. Die stap-vir-stap-prosedure vir 'n kde orde karakteristieke vergelyking is hieronder geskryf:
Determinant een : Die waarde van hierdie determinant word gegee deur |a1| waar a1 die koëffisient is van sn-1 in die karakteristieke vergelyking.
Determinant twee : Die waarde van hierdie determinant word gegee deur

Hier is die aantal elemente in elke ry gelyk aan die determinant nommer en ons het die determinant nommer hier is twee. Die eerste ry bestaan uit die eerste twee onewe koëffisiënte en die tweede ry bestaan uit die eerste twee ewe koëffisiënte.
Determinant drie : Die waarde van hierdie determinant word gegee deur

Hier is die aantal elemente in elke ry gelyk aan die determinant nommer en ons het die determinant nommer hier is drie. Die eerste ry bestaan uit die eerste drie onewe koëffisiënte, die tweede ry bestaan uit die eerste drie ewe koëffisiënte en die derde ry bestaan uit die eerste element as nul en die res van twee elemente as die eerste twee onewe koëffisiënte.
Determinant vier: Die waarde van hierdie determinant word gegee deur,

Hier is die aantal elemente in elke ry gelyk aan die determinant nommer en ons het die determinant nommer hier is vier. Die eerste ry bestaan uit die eerste vier koëffisiënte, die tweede ry bestaan uit die eerste vier ewe koëffisiënte, die derde ry bestaan uit die eerste element as nul en die res van drie elemente as die eerste drie onewe koëffisiënte, die vierde ry bestaan uit die eerste element as nul en die res van drie elemente as die eerste drie ewe koëffisiënte.

Deur die dieselfde prosedure te volg, kan ons die vorming van die determinant veralgemeen. Die algemene vorm van die determinant is hieronder gegee:

Om nou die stabiliteit van die bovermelde stelsel te toets, bereken die waarde van elke determinant. Die stelsel sal stabiel wees indien en slegs indien die waarde van elke determinant groter is as nul, dit wil sê die waarde van elke determinant moet positief wees. In alle ander gevalle sal die stelsel nie stabiel wees nie.

Routh Stabiliteitskriterium

Hierdie kriterium word ook bekend as die gewysigde Hurwitz Kriterium vir die stabiliteit van die stelsel. Ons sal hierdie kriterium in twee dele bestudeer. Deel een sal die nodige voorwaarde vir die stabiliteit van die stelsel oorweeg en deel twee sal die voldoende voorwaarde vir die stabiliteit van die stelsel oorweeg. Laat ons weer die karakteristieke vergelyking van die stelsel as

1) Deel een (nodige voorwaarde vir stabiliteit van die stelsel): Hierin het ons twee voorwaardes wat hieronder geskryf is:

1. Al die koëffisiënte van die karakteristieke vergelyking moet positief en reel wees.

2. Al die koëffisiënte van die karakteristieke vergelyking moet nie-nul wees.

2) Deel twee (voldoende voorwaarde vir stabiliteit van die stelsel): Laat ons eers die Routh-array bou. Om die Routh-array te bou, volg hierdie stappe:

• Die eerste ry sal bestaan uit al die ewe terme van die karakteristieke vergelyking. Stel hulle van eerste (ewe term) tot laaste (ewe term) in. Die eerste ry is hieronder geskryf: a0 a2 a4 a6…………

• Die tweede ry sal bestaan uit al die onewe terme van die karakteristieke vergelyking. Stel hulle van eerste (onewe term) tot laaste (onewe term) in. Die eerste ry is hieronder geskryf: a1 a3 a5 a7………..

• Die elemente van die derde ry kan soos volg bereken word:
  (1) Eerste element : Vermenigvuldig a0 met die diagonaal teenoorstaande element van die volgende kolom (d.w.s. a3) dan trek hierdie af van die produk van a1 en a2 (waar a2 die diagonaal teenoorstaande element van die volgende kolom is) en dan eindelik deel die resultaat wat verkry is met a1. Wiskundig skryf ons die eerste element as

(2) Tweede element : Vermenigvuldig a0 met die diagonaal teenoorstaande element van die volgende na volgende kolom (d.w.s. a5) dan trek hierdie af van die produk van a1 en a4 (waar, a4 die diagonaal teenoorstaande element van die volgende na volgende kolom is) en dan eindelik deel die resultaat wat verkry is met a1. Wiskundig skryf ons die tweede element as

Op dieselfde manier kan ons al die elemente van die derde ry bereken.
(d) Die elemente van die vierde ry kan soos volg bereken word:
(1) Eerste element : Vermenigvuldig b1 met die diagonaal teenoorstaande element van die volgende kolom (d.w.s. a3) dan trek hierdie af van die produk van a1 en b2 (waar, b2 die diagonaal teenoorstaande element van die volgende kolom is) en dan eindelik deel die resultaat wat verkry is met b