Criterium Stabilitatis Routh Hurwitz

Postquam lectionem theoriae synthesis rete, facile dicimus quod quaelibet palus systematis iaceat in dextera parte originis plani s, id facit systema instabile. Hoc conditione A. Hurwitz et E.J.Routh coeperunt investigare necessarias et sufficientes conditiones stability systematis. Duas criteria stability systematis discutemus. Primum criterium a A. Hurwitz datum est, et hoc criterium etiam notum est ut Criterium Hurwitz pro stabilitate vel Criterium Stabilitatis Routh Hurwitz (R-H).

Criterium Hurwitz

Cum adiutorio aequationis characteristicae, faciemus numerum determinatorum Hurwitz ad stabilitatem systematis inveniendam. Definimus aequationem characteristicam systematis ut

Nunc sunt n determinatores pro aequatione characteristica ordinis nth.

Vidamus quomodo scribere possimus determinatores ex coefficientibus aequationis characteristicae. Procedura passim per kth ordo aequationis characteristicae subter scripta est:
Determinator primus : Valorem huius determinantoris datur per |a1| ubi a1 est coefficientis sn-1 in aequatione characteristica.
Determinator secundus : Valorem huius determinantoris datur per

Hic numerus elementorum in singula fila est aequalis numero determinantoris et habemus numerum determinantoris hic est duo. Primum filum constat ex primis duobus coefficientibus imparibus et secundum filum constat ex primis duobus coefficientibus paribus.
Determinator tertius : Valorem huius determinantoris datur per

Hic numerus elementorum in singula fila est aequalis numero determinantoris et habemus numerum determinantoris hic est tres. Primum filum constat ex primis tribus coefficientibus imparibus, secundum filum constat ex primis tribus coefficientibus paribus et tertium filum constat ex primo elemento ut zero et reliquis duobus elementis ut primis duobus coefficientibus imparibus.
Determinator quartus: Valorem huius determinantoris datur per,

Hic numerus elementorum in singula fila est aequalis numero determinantoris et habemus numerum determinantoris hic est quattuor. Primum filum constat ex primis quattuor coefficientibus, secundum filum constat ex primis quattuor coefficientibus paribus, tertium filum constat ex primo elemento ut zero et reliquis tribus elementis ut primis tribus coefficientibus imparibus, quartum filum constat ex primo elemento ut zero et reliquis tribus elementis ut primis tribus coefficientibus paribus.

Per eandem proceduram possumus formationem determinantoris generalizare. Forma generalis determinantoris subter scripta est:

Nunc ut stabilitatem supradicti systematis probemus, calcula valorem cuiusque determinantoris. Systema stabile erit si et solum si valor cuiusque determinantoris maior sit quam zero, id est, valor cuiusque determinantoris positivus esse debet. In omnibus aliis casibus systema non erit stabile.

Criterium Stabilitatis Routh

Hoc criterium etiam notum est ut Criterium Hurwitz modificatum stabilitatis systematis. Hoc criterium in duobus partibus studiemus. Pars prima continebit necessariam conditionem stabilitatis systematis et pars secunda continebit sufficientem conditionem stabilitatis systematis. Rursus consideremus aequationem characteristicam systematis ut

1) Pars prima (conditio necessaria pro stabilitate systematis): In hac duae conditiones sunt scriptae infra:

1. Omnes coefficientes aequationis characteristicae debent esse positivi et reales.

2. Omnes coefficientes aequationis characteristicae debent esse non nulli.

2) Pars secunda (conditio sufficiens pro stabilitate systematis): Primum construamus tabulam Routh. Ut tabulam Routh construamus, sequentes passus sequamur:

• Primum filum constabit ex omnibus terminis paribus aequationis characteristicae. Disponantur ab primo (termino par) ad ultimum (terminum par). Primum filum subter scriptum est: a0 a2 a4 a6…………

• Secundum filum constabit ex omnibus terminis imparibus aequationis characteristicae. Disponantur ab primo (termino impar) ad ultimum (terminum impar). Primum filum subter scriptum est: a1 a3 a5 a7………..

• Elementa tertii fili possunt calculari ut:
  (1) Primum elementum : Multiplica a0 cum diagonali opposito elemento proximi columnae (id est. a3) tunc subtrahe hoc a productu a1 et a2 (ubi a2 est diagonali opposito elemento proximi columnae) et tunc finaliter divide resultatum sic obtinatum cum a1. Mathematica scribimus ut primum elementum

(2) Secundum elementum : Multiplica a0 cum diagonali opposito elemento proximae proximae columnae (id est. a5) tunc subtrahe hoc a productu a1 et a4 (ubi, a4 est diagonali opposito elemento proximae proximae columnae) et tunc finaliter divide resultatum sic obtinatum cum a1. Mathematica scribimus ut secundum elementum

Similiter, possumus calculare omnia elementa tertii fili.
(d) Elementa quarti fili possunt calculari utendo sequente procedura:
(1) Primum elementum : Multiplica b1 cum diagonali opposito elemento proximi columnae (id est. a3) tunc subtrahe hoc a productu a1 et b2 (ubi, b2 est diagonali opposito elemento proximi columnae) et tunc finaliter divide resultatum sic obtinatum cum b1. Mathematica scribimus ut primum elementum