Kritérium stability Routh-Hurwitz
Po přečtení teorie syntézy sítě můžeme snadno říci, že jakýkoli pól systému ležící na pravé straně počátku s-roviny způsobuje nestabilitu systému. Na základě této podmínky A. Hurwitz a E.J. Routh začali zkoumat nezbytné a dostatečné podmínky stability systému. Budeme diskutovat o dvou kritériích stability systému. První kritérium bylo dáno A. Hurwitzem a toto kritérium je také známé jako Hurwitzovo kritérium stability nebo Routh-Hurwitz (R-H) kritérium stability.
Hurwitzovo kritérium
Pomocí charakteristické rovnice vytvoříme několik Hurwitzových determinantů, abychom zjistili stabilitu systému. Definujeme charakteristickou rovnici systému jako
Nyní existuje n determinantů pro charakteristickou rovnici nt řádu.
Ukažme, jak můžeme zapsat determinanty z koeficientů charakteristické rovnice. Postup krok za krokem pro charakteristickou rovnici kt řádu je níže uveden:
Determinant jedna : Hodnota tohoto determinantu je dána |a1|, kde a1 je koeficient sn-1 v charakteristické rovnici.
Determinant dva : Hodnota tohoto determinantu je dána
Počet prvků v každém řádku je roven číslu determinantu a máme tady determinant číslo dva. První řádek obsahuje první dva liché koeficienty a druhý řádek obsahuje první dva sudé koeficienty.
Determinant tři : Hodnota tohoto determinantu je dána
Počet prvků v každém řádku je roven číslu determinantu a máme tady determinant číslo tři. První řádek obsahuje první tři liché koeficienty, druhý řádek obsahuje první tři sudé koeficienty a třetí řádek obsahuje první prvek jako nulu a zbytek dvou prvků jako první dva liché koeficienty.
Determinant čtyři: Hodnota tohoto determinantu je dána,
Počet prvků v každém řádku je roven číslu determinantu a máme tady determinant číslo čtyři. První řádek obsahuje první čtyři koeficienty, druhý řádek obsahuje první čtyři sudé koeficienty, třetí řádek obsahuje první prvek jako nulu a zbytek tří prvků jako první tři liché koeficienty a čtvrtý řádek obsahuje první prvek jako nulu a zbytek tří prvků jako první tři sudé koeficienty.
Tímto postupem můžeme zobecnit tvorbu determinantů. Obecná forma determinantu je níže uvedena:
Pro zjištění stability tohoto systému spočítejte hodnotu každého determinantu. Systém bude stabilní, pokud a pouze pokud bude hodnota každého determinantu větší než nula, tj. hodnota každého determinantu by měla být kladná. V ostatních případech nebude systém stabilní.
Routhovo kritérium stability
Tohle kritérium je také známé jako upravené Hurwitzovo kritérium stability systému. Toto kritérium studujeme ve dvou částech. První část zahrnuje nezbytnou podmínku stability systému a druhá část zahrnuje dostatečnou podmínku stability systému. Znovu zvažme charakteristickou rovnici systému jako
1) První část (nezbytná podmínka stability systému): Zde máme dvě podmínky, které jsou uvedeny níže:
Všechny koeficienty charakteristické rovnice by měly být kladné a reálné.
Všechny koeficienty charakteristické rovnice by měly být nenulové.
2) Druhá část (dostatečná podmínka stability systému): Nejprve sestavíme Routhův tabulkový rozvrh. Pro sestavení Routhova tabulkového rozvrhu postupujte následovně:
První řádek bude obsahovat všechny sudé členy charakteristické rovnice. Seřaďte je od prvního (sudého členu) do posledního (sudého členu). První řádek je níže uveden: a0 a2 a4 a6…………
Druhý řádek bude obsahovat všechny liché členy charakteristické rovnice. Seřaďte je od prvního (lichého členu) do posledního (lichého členu). Druhý řádek je níže uveden: a1 a3 a5 a7………..
Prvky třetího řádku lze spočítat následovně:
(1) První prvek : Vynásobte a0 s diagonálně protilehlým prvkem dalšího sloupce (tj. a3) a pak odečtěte tento součin od součinu a1 a a2 (kde a2 je diagonálně protilehlý prvek dalšího sloupce) a nakonec výsledek vydělte a1. Matematicky zapíšeme jako první prvek
(2) Druhý prvek : Vynásobte a0 s diagonálně protilehlým prvkem dalšího sloupce (tj. a5) a pak odečtěte tento součin od součinu a1 a a4 (kde, a4 je diagonálně protilehlý prvek dalšího sloupce) a nakonec výsledek vydělte a1. Matematicky zapíšeme jako druhý prvek
Podobně můžeme spočítat všechny prvky třetího řádku.
(d) Prvky čtvrtého řádku lze spočítat pomocí následujícího postupu:
(1) První prvek : Vynásobte b1 s diagonálně protilehlým prvkem dalšího sloupce (tj. a3) a pak odečtěte tento součin od součinu a
