Criterio di stabilità di Routh-Hurwitz

Dopo aver studiato la teoria della sintesi di reti, possiamo dire facilmente che se qualsiasi polo del sistema si trova a destra dell'origine del piano s, rende il sistema instabile. Su questa base, A. Hurwitz ed E.J. Routh iniziarono a indagare sulle condizioni necessarie e sufficienti per la stabilità di un sistema. Discuteremo due criteri per la stabilità del sistema. Il primo criterio è fornito da A. Hurwitz e questo criterio è noto anche come Criterio di stabilità di Hurwitz o Criterio di stabilità di Routh Hurwitz (R-H).

Criterio di Hurwitz

Con l'aiuto dell'equazione caratteristica, creeremo una serie di determinanti di Hurwitz per determinare la stabilità del sistema. Definiamo l'equazione caratteristica del sistema come

Ora ci sono n determinanti per l'equazione caratteristica di ordine nesimo.

Vediamo come possiamo scrivere i determinanti dai coefficienti dell'equazione caratteristica. La procedura passo-passo per l'equazione caratteristica di ordine kesimo è riportata di seguito:
Determinante uno : Il valore di questo determinante è dato da |a1| dove a1 è il coefficiente di sn-1 nell'equazione caratteristica.
Determinante due : Il valore di questo determinante è dato da

Il numero di elementi in ogni riga è uguale al numero del determinante e qui abbiamo il numero del determinante pari a due. La prima riga consiste nei primi due coefficienti dispari e la seconda riga consiste nei primi due coefficienti pari.
Determinante tre : Il valore di questo determinante è dato da

Il numero di elementi in ogni riga è uguale al numero del determinante e qui abbiamo il numero del determinante pari a tre. La prima riga consiste nei primi tre coefficienti dispari, la seconda riga consiste nei primi tre coefficienti pari e la terza riga consiste nel primo elemento come zero e gli altri due elementi come i primi due coefficienti dispari.
Determinante quattro: Il valore di questo determinante è dato da,

Il numero di elementi in ogni riga è uguale al numero del determinante e qui abbiamo il numero del determinante pari a quattro. La prima riga consiste nei primi quattro coefficienti, la seconda riga consiste nei primi quattro coefficienti pari, la terza riga consiste nel primo elemento come zero e gli altri tre elementi come i primi tre coefficienti dispari, la quarta riga consiste nel primo elemento come zero e gli altri tre elementi come i primi tre coefficienti pari.

Seguendo la stessa procedura, possiamo generalizzare la formazione del determinante. La forma generale del determinante è data di seguito:

Per verificare la stabilità del sistema sopra, calcolare il valore di ciascun determinante. Il sistema sarà stabile se e solo se il valore di ciascun determinante è maggiore di zero, ovvero il valore di ciascun determinante dovrebbe essere positivo. In tutti gli altri casi, il sistema non sarà stabile.

Criterio di stabilità di Routh

Questo criterio è noto anche come Criterio di Hurwitz modificato per la stabilità del sistema. Studieremo questo criterio in due parti. La prima parte coprirà la condizione necessaria per la stabilità del sistema e la seconda parte coprirà la condizione sufficiente per la stabilità del sistema. Consideriamo nuovamente l'equazione caratteristica del sistema come

1) Parte uno (condizione necessaria per la stabilità del sistema): In questa abbiamo due condizioni che sono riportate di seguito:

1. Tutti i coefficienti dell'equazione caratteristica dovrebbero essere positivi e reali.

2. Tutti i coefficienti dell'equazione caratteristica dovrebbero essere diversi da zero.

2) Parte due (condizione sufficiente per la stabilità del sistema): Costruiamo prima l'array di Routh. Per costruire l'array di Routh, seguire questi passaggi:

• La prima riga conterrà tutti i termini pari dell'equazione caratteristica. Disporli dal primo (termine pari) all'ultimo (termine pari). La prima riga è scritta di seguito: a0 a2 a4 a6…………

• La seconda riga conterrà tutti i termini dispari dell'equazione caratteristica. Disporli dal primo (termine dispari) all'ultimo (termine dispari). La prima riga è scritta di seguito: a1 a3 a5 a7………..

• Gli elementi della terza riga possono essere calcolati come:
  (1) Primo elemento : Moltiplicare a0 con l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva (cioè a3) quindi sottrarre questo dal prodotto di a1 e a2 (dove a2 è l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva) e poi finalmente dividere il risultato ottenuto con a1. Matematicamente scriviamo il primo elemento come

(2) Secondo elemento : Moltiplicare a0 con l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva (cioè a5) quindi sottrarre questo dal prodotto di a1 e a4 (dove, a4 è l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva) e poi finalmente dividere il risultato ottenuto con a1. Matematicamente scriviamo il secondo elemento come

Analogamente, possiamo calcolare tutti gli elementi della terza riga.
(d) Gli elementi della quarta riga possono essere calcolati utilizzando la seguente procedura:
(1) Primo elemento : Moltiplicare b1 con l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva (cioè a3) quindi sottrarre questo dal prodotto di a1 e b2 (dove, b2 è l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva) e poi finalmente dividere il risultato ottenuto con b1. Matematicamente scriviamo il primo elemento come

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