معیار پایداری رات-هرویتز

پس از مطالعه نظریه سنتز شبکه، می‌توانیم به سادگی بگوییم که هر قطبی از سیستم که در سمت راست محور s واقع شده باشد، سیستم را ناپایدار می‌کند. بر اساس این شرط، A. Hurwitz و E.J.Routh شروع به بررسی شرایط لازم و کافی پایداری یک سیستم کردند. ما دو معیار برای پایداری سیستم را بحث خواهیم کرد. معیار اول توسط A. Hurwitz ارائه شده است که به آن معیار پایداری هورویتز یا معیار پایداری رات-هورویتز (R-H) می‌گویند.

معیار پایداری هورویتز

با کمک معادله مشخصه، ما تعدادی دترمینان هورویتز را برای یافتن پایداری سیستم تشکیل می‌دهیم. ما معادله مشخصه سیستم را به صورت زیر تعریف می‌کنیم

حالا برای معادله مشخصه مرتبه n، n دترمینان وجود دارد.

بیایید ببینیم چگونه می‌توانیم دترمینان‌ها را از ضرایب معادله مشخصه بنویسیم. روش گام به گام برای معادله مشخصه مرتبه k به شرح زیر است:
دترمینان اول : مقدار این دترمینان توسط |a1| تعیین می‌شود که در آن a1 ضریب sn-1 در معادله مشخصه است.
دترمینان دوم : مقدار این دترمینان توسط

تعیین می‌شود. تعداد عناصر در هر ردیف برابر با شماره دترمینان است و در اینجا شماره دترمینان ۲ است. ردیف اول شامل دو ضریب فرد اولیه و ردیف دوم شامل دو ضریب زوج اولیه است.
دترمینان سوم : مقدار این دترمینان توسط

تعداد عناصر در هر ردیف برابر با شماره دترمینان است و در اینجا شماره دترمینان ۳ است. ردیف اول شامل سه ضریب فرد اولیه، ردیف دوم شامل سه ضریب زوج اولیه و ردیف سوم شامل عنصر اول صفر و بقیه دو عنصر اولیه فرد است.
دترمینان چهارم: مقدار این دترمینان توسط،

تعیین می‌شود. تعداد عناصر در هر ردیف برابر با شماره دترمینان است و در اینجا شماره دترمینان ۴ است. ردیف اول شامل چهار ضریب اولیه، ردیف دوم شامل چهار ضریب زوج اولیه، ردیف سوم شامل عنصر اول صفر و بقیه سه عنصر اولیه فرد و ردیف چهارم شامل عنصر اول صفر و بقیه سه عنصر اولیه زوج است.

با دنبال کردن همین روش می‌توانیم تشکیل دترمینان را تعمیم دهیم. فرم عمومی دترمینان به شرح زیر است:

حالا برای بررسی پایداری سیستم فوق، مقدار هر دترمینان را محاسبه کنید. سیستم فقط و فقط وقتی پایدار خواهد بود که مقدار هر دترمینان بزرگتر از صفر باشد، یعنی مقدار هر دترمینان مثبت باشد. در تمامی موارد دیگر سیستم پایدار نخواهد بود.

معیار پایداری رات

این معیار همچنین به عنوان معیار پایداری هورویتز اصلاح شده شناخته می‌شود. ما این معیار را در دو بخش مطالعه خواهیم کرد. بخش اول شامل شرط لازم برای پایداری سیستم و بخش دوم شامل شرط کافی برای پایداری سیستم است. دوباره معادله مشخصه سیستم را در نظر بگیرید به صورت

۱) بخش اول (شرط لازم برای پایداری سیستم): در اینجا دو شرط وجود دارد که در زیر ذکر شده است:

1. تمام ضرایب معادله مشخصه باید مثبت و حقیقی باشند.

2. تمام ضرایب معادله مشخصه باید غیرصفر باشند.

۲) بخش دوم (شرط کافی برای پایداری سیستم): ابتدا جدول رات را تشکیل می‌دهیم. برای تشکیل جدول رات از این مراحل پیروی کنید:

• ردیف اول شامل تمام ضرایب زوج معادله مشخصه خواهد بود. آن‌ها را از اول (ضریب زوج) تا آخر (ضریب زوج) مرتب کنید. ردیف اول به شرح زیر است: a0 a2 a4 a6…………

• ردیف دوم شامل تمام ضرایب فرد معادله مشخصه خواهد بود. آن‌ها را از اول (ضریب فرد) تا آخر (ضریب فرد) مرتب کنید. ردیف دوم به شرح زیر است: a1 a3 a5 a7………..

• عناصر ردیف سوم می‌توانند به صورت زیر محاسبه شوند:
  (۱) عنصر اول : ضرب a0 در عنصر قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a3) را کم کنید از حاصل ضرب a1 و a2 (که a2 عنصر قطری مقابل ستون بعدی است) و سپس نتیجه به دست آمده را بر a1 تقسیم کنید. ریاضیاً عنصر اول به صورت زیر نوشته می‌شود

(۲) عنصر دوم : ضرب a0 در عنصر قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a5) را کم کنید از حاصل ضرب a1 و a4 (که a4 عنصر قطری مقابل ستون بعدی است) و سپس نتیجه به دست آمده را بر a1 تقسیم کنید. ریاضیاً عنصر دوم به صورت زیر نوشته می‌شود

به همین ترتیب می‌توانیم تمام عناصر ردیف سوم را محاسبه کنیم.
(d) عناصر ردیف چهارم می‌توانند با استفاده از روش زیر محاسبه شوند:
(۱) عنصر اول : ضرب b1 در عنصر قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a3) را کم کنید از حاصل ضرب a