Routh Hurwitzi stabiilsuskriterium
Pärast võrgusünteesi teooria lugemist saame väga lihtsalt öelda, et kui süsteemi pool asub s-tasandi päritolu paremal poolel, muudab see süsteemi ebastabiilseks. Selle tingimuse põhjal alustasid A. Hurwitz ja E.J. Routh uurimist stabiilsuse tarviliku ja piisava tingimuste osas. Arutame kahte stabiilsuse kriteeriumi. Esimene kriteerium on antud A. Hurwitzi poolt ja seda kriteeriumit tuntakse ka kui Hurwitzi stabiilsuskriteerium või Routh-Hurwitz (R-H) stabiilsuskriteerium.
Hurwitzi kriteerium
Karakteristliku võrrandi abil loome mitmeid Hurwitzi determinantide eesmärgiga leida süsteemi stabiilsus. Määrame süsteemi karakteristliku võrrandi järgmiselt
Nüüd on n-determinant nnda järku karakteristikuvõrrandile.
Vaatame, kuidas saame koostada determinantide karakteristikuvõrrandi kordajatest. Järjestikune protsess knda järku karakteristikuvõrrandi korral on järgmine:
Determinant üks : Selle determinantide väärtus on antud |a1|, kus a1 on sn-1 kordaja karakteristikuvõrrandis.
Determinant kaks : Selle determinantide väärtus on antud
Igal reas on elementide arv võrdne determinantide arvuga ja meil on siin determinantide arv kaks. Esimene rida koosneb esimestest kahest paaritu kordajast ja teine rida koosneb esimestest kahest paaris kordajast.
Determinant kolm : Selle determinantide väärtus on antud
Igal reas on elementide arv võrdne determinantide arvuga ja meil on siin determinantide arv kolm. Esimene rida koosneb esimestest kahest paaritu kordajast, teine rida koosneb esimestest kahest paaris kordajast ja kolmas rida koosneb esimese elemendina nullist ja muidu kahest esimesest paaritu kordajast.
Determinant neli: Selle determinantide väärtus on antud,
Igal reas on elementide arv võrdne determinantide arvuga ja meil on siin determinantide arv neli. Esimene rida koosneb esimestest neljast kordajast, teine rida koosneb esimestest neljast paaris kordajast, kolmas rida koosneb esimese elemendina nullist ja muidu kolmest esimesest paaritu kordajast, neljas rida koosneb esimese elemendina nullist ja muidu kolmest esimesest paaris kordajast.
Järgides sama protsessi saame generaliseerida determinantide moodustamise. Determinantide üldine vorm on järgmine:
Süsteemi stabiilsuse kontrollimiseks arvutame igasuguse determinantide väärtuse. Süsteem on stabiilne vaid siis, kui iga determinantide väärtus on suurem kui null, st iga determinantide väärtus peaks olema positiivne. Kõigis muudes juhtudetes ei ole süsteem stabiilne.
Routhi stabiilsuskriteerium
See kriteerium on teada ka kui muudetud Hurwitzi stabiilsuskriteerium. Uurime seda kriteeriumi kahe osana. Esimene osa käsitleb stabiilsuse tarvilikku tingimust ja teine osa käsitleb stabiilsuse piisavat tingimust. Vaatame uuesti süsteemi karakteristikuvõrrandit kui
1) Esimene osa (tarvilik tingimus stabiilsuse jaoks): Selles on kaks tingimust, mis on järgmised:
Kõik karakteristikuvõrrandi kordajad peaksid olema positiivsed ja reaalsed.
Kõik karakteristikuvõrrandi kordajad peaksid olema nullist erinevad.
2) Teine osa (piisav tingimus stabiilsuse jaoks): Ehitame Routhi tabeli. Routhi tabeli ehitamiseks järgige järgmisi samme:
Esimene rida koosneb kõigist karakteristikuvõrrandi paaris kordajatest. Paigutage need esimest (paaritu kordaja) kuni viimast (paaritu kordaja). Esimene rida on järgmine: a0 a2 a4 a6…………
Teine rida koosneb kõigist karakteristikuvõrrandi paaritu kordajatest. Paigutage need esimest (paaritu kordaja) kuni viimast (paaritu kordaja). Teine rida on järgmine: a1 a3 a5 a7………..
Kolmanda rea elemendid saavad arvutatud järgmiselt:
(1) Esimene element : Korrutage a0 diagonaalselt vastastikuse elemendiga järgmise veeru (st a3) ja lahutage see a1 ja a2 (kus a2 on diagonaalselt vastastikune element järgmise veeru) korrutisest ning lõpuks jagage saadud tulemus a1-ga. Matemaatiliselt kirjutame esimese elementi
(2) Teine element : Korrutage a0 diagonaalselt vastastikuse elemendiga järgmise järgmise veeru (st a5) ja lahutage see a1 ja a4 (kus, a4 on diagonaalselt vastastikune element järgmise järgmise veeru) korrutisest ning lõpuks jagage saadud tulemus a1-ga. Matemaatiliselt kirjutame teise elementi
Samuti saame arvutada kõik kolmanda rea elemendid.
(d) Neljanda rea elemendid saavad arvutatud järgmiselt:
(1) Esimene element : Korrutage b1 diagonaalselt vastastikuse elemendiga järgmise veeru (st a3) ja lahutage see a1 ja b2 (kus, b2 on diagonaalselt vastastikune element järgmise veeru) korrutisest ning lõpuks jagage saadud tulemus b1-ga. Matemaatiliselt kirjutame esimese elementi
