Κριτήριο Σταθερότητας Routh-Hurwitz
Μετά την ανάγνωση της θεωρίας της σύνθεσης δικτύων, μπορούμε εύκολα να πούμε ότι οποιοδήποτε πόλος του συστήματος βρίσκεται στο δεξιό μέρος της προέλευσης του επιπέδου s, καθιστά το σύστημα ασταθές. Με βάση αυτή τη συνθήκη, οι A. Hurwitz και E.J.Routh ξεκίνησαν να εξετάζουν τις αναγκαίες και αρκετές συνθήκες για τη σταθερότητα ενός συστήματος. Θα συζητήσουμε δύο κριτήρια για τη σταθερότητα του συστήματος. Το πρώτο κριτήριο έχει δοθεί από τον A. Hurwitz και αυτό το κριτήριο είναι επίσης γνωστό ως Κριτήριο Hurwitz για σταθερότητα ή Κριτήριο Σταθερότητας Routh-Hurwitz (R-H).
Κριτήριο Hurwitz
Με τη βοήθεια της χαρακτηριστικής εξίσωσης, θα φτιάξουμε μια σειρά από αντικειμενικούς πίνακες Hurwitz για να βρούμε τη σταθερότητα του συστήματος. Ορίζουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος ως
Τώρα υπάρχουν n πίνακες για την nη τάξης χαρακτηριστική εξίσωση.
Ας δούμε πώς μπορούμε να γράψουμε πίνακες από τους συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Η βήμα προς βήμα διαδικασία για την kη τάξης χαρακτηριστική εξίσωση είναι γραμμένη παρακάτω:
Πίνακας ένας : Η τιμή αυτού του πίνακα είναι δοθείσα από |a1| όπου a1 είναι ο συντελεστής του sn-1 στη χαρακτηριστική εξίσωση.
Πίνακας δύο : Η τιμή αυτού του πίνακα είναι δοθείσα από
Εδώ το πλήθος των στοιχείων σε κάθε σειρά είναι ίσο με τον αριθμό του πίνακα και έχουμε τον αριθμό του πίνακα εδώ είναι δύο. Η πρώτη σειρά αποτελείται από τους πρώτους δύο μη ζυγούς συντελεστές και η δεύτερη σειρά αποτελείται από τους πρώτους δύο ζυγούς συντελεστές.
Πίνακας τρία : Η τιμή αυτού του πίνακα είναι δοθείσα από
Εδώ το πλήθος των στοιχείων σε κάθε σειρά είναι ίσο με τον αριθμό του πίνακα και έχουμε τον αριθμό του πίνακα εδώ είναι τρία. Η πρώτη σειρά αποτελείται από τους πρώτους τρεις μη ζυγούς συντελεστές, η δεύτερη σειρά αποτελείται από τους πρώτους τρεις ζυγούς συντελεστές και η τρίτη σειρά αποτελείται από το πρώτο στοιχείο ως μηδέν και τα υπόλοιπα δύο στοιχεία ως τους πρώτους δύο μη ζυγούς συντελεστές.
Πίνακας τέσσερα: Η τιμή αυτού του πίνακα είναι δοθείσα από,
Εδώ το πλήθος των στοιχείων σε κάθε σειρά είναι ίσο με τον αριθμό του πίνακα και έχουμε τον αριθμό του πίνακα εδώ είναι τέσσερα. Η πρώτη σειρά αποτελείται από τους πρώτους τέσσερις συντελεστές, η δεύτερη σειρά αποτελείται από τους πρώτους τέσσερις ζυγούς συντελεστές, η τρίτη σειρά αποτελείται από το πρώτο στοιχείο ως μηδέν και τα υπόλοιπα τρία στοιχεία ως τους πρώτους τρεις μη ζυγούς συντελεστές, η τέταρτη σειρά αποτελείται από το πρώτο στοιχείο ως μηδέν και τα υπόλοιπα τρία στοιχεία ως τους πρώτους τρεις ζυγούς συντελεστές.
Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία μπορούμε να γενικεύσουμε τη δημιουργία του πίνακα. Η γενική μορφή του πίνακα είναι δοθείσα παρακάτω:
Τώρα, για να ελέγξουμε τη σταθερότητα του παραπάνω συστήματος, υπολογίστε την τιμή κάθε πίνακα. Το σύστημα θα είναι σταθερό αν και μόνο αν η τιμή κάθε πίνακα είναι μεγαλύτερη από μηδέν, δηλαδή η τιμή κάθε πίνακα πρέπει να είναι θετική. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, το σύστημα δεν θα είναι σταθερό.
Κριτήριο Σταθερότητας Routh
Αυτό το κριτήριο είναι επίσης γνωστό ως τροποποιημένο Κριτήριο Hurwitz για τη σταθερότητα του συστήματος. Θα μελετήσουμε αυτό το κριτήριο σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα καλύψει την αναγκαία συνθήκη για τη σταθερότητα του συστήματος και το δεύτερο μέρος θα καλύψει την αρκετή συνθήκη για τη σταθερότητα του συστήματος. Ας θεωρήσουμε ξανά τη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος ως
1) Μέρος ένα (αναγκαία συνθήκη για τη σταθερότητα του συστήματος): Σε αυτό έχουμε δύο συνθήκες που είναι γραμμένες παρακάτω:
Όλοι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης πρέπει να είναι θετικοί και πραγματικοί.
Όλοι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης πρέπει να είναι μη μηδενικοί.
2) Μέρος δύο (αρκετή συνθήκη για τη σταθερότητα του συστήματος): Ας κατασκευάσουμε πρώτα τον πίνακα Routh. Για να κατασκευάσουμε τον πίνακα Routh, ακολουθήστε αυτά τα βήματα:
Η πρώτη σειρά θα αποτελείται από όλους τους ζυγούς όρους της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Διατάξτε τους από τον πρώτο (ζυγός όρος) μέχρι τον τελευταίο (ζυγός όρος). Η πρώτη σειρά είναι γραμμένη παρακάτω: a0 a2 a4 a6…………
Η δεύτερη σειρά θα αποτελείται από όλους τους μη ζυγούς όρους της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Διατάξτε τους από τον πρώτο (μη ζυγός όρος) μέχρι τον τελευταίο (μη ζυγός όρος). Η δεύτερη σειρά είναι γραμμένη παρακάτω: a1 a3 a
