เกณฑ์เสถียรภาพของรูธ-ฮูร์วิท

หลังจากศึกษาทฤษฎีการสังเคราะห์วงจร เราสามารถกล่าวได้อย่างง่ายว่าหากมีโพลใด ๆ ของระบบอยู่ทางด้านขวาของจุดกำเนิดในระนาบ s จะทำให้ระบบไม่มั่นคง บนพื้นฐานของการสภาวะนี้ A. Hurwitz และ E.J.Routh ได้เริ่มทำการตรวจสอบเงื่อนไขจำเป็นและเพียงพอสำหรับความมั่นคงของระบบ เราจะหารือเกี่ยวกับเกณฑ์สองข้อสำหรับความมั่นคงของระบบ เกณฑ์แรกถูกกำหนดโดย A. Hurwitz และเกณฑ์นี้ยังรู้จักกันในชื่อ เกณฑ์ Hurwitz สำหรับความมั่นคง หรือ เกณฑ์ความมั่นคงของ Routh Hurwitz (R-H).

เกณฑ์ Hurwitz

ด้วยการใช้สมการคุณลักษณะ เราจะสร้างตัวกำหนด Hurwitz จำนวนหนึ่งเพื่อหาความมั่นคงของระบบ เราจะกำหนดสมการคุณลักษณะของระบบว่า

ตอนนี้มีตัวกำหนด n ตัวสำหรับสมการคุณลักษณะลำดับที่ n.

ลองมาดูว่าเราสามารถเขียนตัวกำหนดจากสัมประสิทธิ์ของสมการคุณลักษณะได้อย่างไร ขั้นตอนที่ละรายละเอียดสำหรับสมการคุณลักษณะลำดับที่ k ถูกเขียนไว้ด้านล่าง:
ตัวกำหนดที่หนึ่ง : ค่าของตัวกำหนดนี้กำหนดโดย |a1| ซึ่ง a1 เป็นสัมประสิทธิ์ของ sn-1 ในสมการคุณลักษณะ.
ตัวกำหนดที่สอง : ค่าของตัวกำหนดนี้กำหนดโดย

ที่นี่จำนวนองค์ประกอบในแต่ละแถวเท่ากับหมายเลขตัวกำหนดและเรามีหมายเลขตัวกำหนดที่นี่คือสอง แถวแรกประกอบด้วยสัมประสิทธิ์คี่สองตัวแรกและแถวที่สองประกอบด้วยสัมประสิทธิ์คู่สองตัวแรก.
ตัวกำหนดที่สาม : ค่าของตัวกำหนดนี้กำหนดโดย

ที่นี่จำนวนองค์ประกอบในแต่ละแถวเท่ากับหมายเลขตัวกำหนดและเรามีหมายเลขตัวกำหนดที่นี่คือสาม แถวแรกประกอบด้วยสัมประสิทธิ์คี่สามตัวแรก แถวที่สองประกอบด้วยสัมประสิทธิ์คู่สามตัวแรก และแถวที่สามประกอบด้วยองค์ประกอบแรกเป็นศูนย์และองค์ประกอบที่เหลือสองตัวเป็นสัมประสิทธิ์คี่สองตัวแรก.
ตัวกำหนดที่สี่: ค่าของตัวกำหนดนี้กำหนดโดย,

ที่นี่จำนวนองค์ประกอบในแต่ละแถวเท่ากับหมายเลขตัวกำหนดและเรามีหมายเลขตัวกำหนดที่นี่คือสี่ แถวแรกประกอบด้วยสัมประสิทธิ์สี่ตัวแรก แถวที่สองประกอบด้วยสัมประสิทธิ์คู่สี่ตัวแรก แถวที่สามประกอบด้วยองค์ประกอบแรกเป็นศูนย์และองค์ประกอบที่เหลือสามตัวเป็นสัมประสิทธิ์คี่สามตัวแรก แถวที่สี่ประกอบด้วยองค์ประกอบแรกเป็นศูนย์และองค์ประกอบที่เหลือสามตัวเป็นสัมประสิทธิ์คู่สามตัวแรก.

โดยการปฏิบัติตามขั้นตอนเดียวกัน เราสามารถสรุปการสร้างตัวกำหนดได้ รูปแบบทั่วไปของตัวกำหนดแสดงด้านล่าง:

เพื่อตรวจสอบความมั่นคงของระบบข้างต้น คำนวณค่าของตัวกำหนดแต่ละตัว ระบบจะมั่นคงก็ต่อเมื่อค่าของตัวกำหนดแต่ละตัวมากกว่าศูนย์ กล่าวคือ ค่าของตัวกำหนดแต่ละตัวควรเป็นบวก ในกรณีอื่น ๆ ระบบจะไม่มั่นคง.

เกณฑ์ความมั่นคงของ Routh

เกณฑ์นี้ยังรู้จักกันในชื่อเกณฑ์ Hurwitz ที่ปรับปรุงแล้วสำหรับความมั่นคงของระบบ เราจะศึกษากฎเกณฑ์นี้ในสองส่วน ส่วนแรกจะครอบคลุมเงื่อนไขจำเป็นสำหรับความมั่นคงของระบบ และส่วนที่สองจะครอบคลุมเงื่อนไขเพียงพอสำหรับความมั่นคงของระบบ ลองพิจารณาสมการคุณลักษณะของระบบอีกครั้งว่า

1) ส่วนที่หนึ่ง (เงื่อนไขจำเป็นสำหรับความมั่นคงของระบบ): ในส่วนนี้เรามีเงื่อนไขสองข้อที่เขียนไว้ด้านล่าง:

1. สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะควรมีค่าเป็นบวกและเป็นจริง.

2. สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะควรมีค่าไม่เป็นศูนย์.

2) ส่วนที่สอง (เงื่อนไขเพียงพอสำหรับความมั่นคงของระบบ): ลองสร้างตาราง Routh ก่อน ในการสร้างตาราง Routh ทำตามขั้นตอนดังนี้:

• แถวแรกจะประกอบด้วยเทอมคู่ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ จัดเรียงจากเทอมคู่แรกจนถึงเทอมคู่สุดท้าย แถวแรกเขียนไว้ด้านล่าง: a0 a2 a4 a6…………

• แถวที่สองจะประกอบด้วยเทอมคี่ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ จัดเรียงจากเทอมคี่แรกจนถึงเทอมคี่สุดท้าย แถวแรกเขียนไว้ด้านล่าง: a1 a3 a5 a7………..

• องค์ประกอบของแถวที่สามสามารถคำนวณได้ดังนี้:
  (1) องค์ประกอบแรก : คูณ a0 กับองค์ประกอบที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไป (เช่น a3) แล้วลบผลจากการคูณระหว่าง a1 และ a2 (โดยที่ a2 เป็นองค์ประกอบที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไป) และสุดท้ายหารผลที่ได้ด้วย a1. ทางคณิตศาสตร์เราเขียนเป็นองค์ประกอบแรก

(2) องค์ประกอบที่สอง : คูณ a0 กับองค์ประกอบที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไป (เช่น a5) แล้วลบผลจากการคูณระหว่าง a1 และ a4 (โดยที่ a4 เป็นองค์ประกอบที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไป) และสุดท้ายหารผลที่ได้ด้วย a1. ทางคณิตศาสตร์เราเขียนเป็นองค์ประกอบที่สอง

เช่นเดียวกัน เราสามารถคำนวณองค์ประกอบทั้งหมดของแถวที่สาม.
(d) องค์ประกอบของแถวที่สี่สามารถคำนวณได้โดยใช้ขั้นตอนดังนี้:
(1) องค์ประกอบแรก : คูณ b1 กับองค์ประกอบที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไป (เช่น a3) แล้วลบผลจากการคูณระหว่าง a1 และ b