Routh Hurwitz Stabilitási Kritérium
A hálózat-szintézis elméletének olvasása után könnyen megállapíthatjuk, hogy ha a rendszer bármely pólusa a s sík eredeténél jobbra helyezkedik el, akkor a rendszer instabil lesz. E feltétel alapján A. Hurwitz és E.J. Routh kezdte vizsgálni a rendszer stabilitásának szükséges és elégséges feltételeit. Két kritériumot fogunk megbeszélni a rendszer stabilitásának értékelésére. Az első kritérium A. Hurwitz által adott, amit ismerünk a Hurwitz Stabilitási Kritérium vagy Routh-Hurwitz (R-H) Stabilitási Kritérium néven.
Hurwitz Kritérium
A karakterisztikus egyenlet segítségével több Hurwitz-determinánsot készítünk, hogy meghatározzuk a rendszer stabilitását. A rendszer karakterisztikus egyenletét a következőképpen definiáljuk:
Egy n-edfokú karakterisztikus egyenlethez n determináns van.
Lássuk, hogyan írhatók le a determinánsok a karakterisztikus egyenlet együtthatói alapján. A lépésről lépésre kifejtett eljárás egy n-edfokú karakterisztikus egyenlet esetén az alábbiakban található:
Első determináns: Ez a determináns értéke |a1|, ahol a1 az sn-1 együtthatója a karakterisztikus egyenletben.
Második determináns: Ez a determináns értéke
Itt minden sorban olyan elemek száma van, amennyi a determináns száma, és itt a determináns szám 2. Az első sor az első két páratlan együtthatót tartalmazza, a második sor pedig az első két páros együtthatót.
Harmadik determináns: Ez a determináns értéke
Itt minden sorban olyan elemek száma van, amennyi a determináns száma, és itt a determináns szám 3. Az első sor az első három páratlan együtthatót tartalmazza, a második sor pedig az első három páros együtthatót, a harmadik sor első eleme nulla, a többi két elem pedig az első két páratlan együttható.
Negyedik determináns: Ez a determináns értéke,
Itt minden sorban olyan elemek száma van, amennyi a determináns száma, és itt a determináns szám 4. Az első sor az első négy együtthatót tartalmazza, a második sor pedig az első négy páros együtthatót, a harmadik sor első eleme nulla, a többi három elem pedig az első három páratlan együttható, a negyedik sor első eleme nulla, a többi három elem pedig az első három páros együttható.
Azonos eljárással általánosítható a determinánsok kialakítása. A determinánsok általános formája a következő:
A fenti rendszer stabilitásának ellenőrzése érdekében számoljuk ki minden determináns értékét. A rendszer stabil, ha és csak akkor, ha minden determináns értéke nagyobb, mint nulla, azaz minden determináns értéke pozitív. Minden más esetben a rendszer nem stabil.
Routh Stabilitási Kritérium
Ez a kritérium ismert a módosított Hurwitz Stabilitási Kritériumnak. Két részben fogjuk tanulmányozni. Az első rész a rendszer stabilitásának szükséges feltételeit, a második rész pedig a rendszer stabilitásának elégséges feltételeit foglalja össze. Jelöljük újra a rendszer karakterisztikus egyenletét:
1) Első rész (a rendszer stabilitásának szükséges feltételei): Itt két feltétel van, amelyek a következők:
A karakterisztikus egyenlet minden együtthatója pozitív és valós kell, hogy legyen.
A karakterisztikus egyenlet minden együtthatója nem lehet nulla.
2) Második rész (a rendszer stabilitásának elégséges feltételei): Hozzuk először létre a Routh-táblázatot. A Routh-táblázat kialakításához kövessük az alábbi lépéseket:
Az első sorban a karakterisztikus egyenlet minden páros tagja álljon. Rendezzük őket az első (páros tag) től az utolsó (páros tag) ig. Az első sor így írható: a0 a2 a4 a6…………
A második sorban a karakterisztikus egyenlet minden páratlan tagja álljon. Rendezzük őket az első (páratlan tag) től az utolsó (páratlan tag) ig. A második sor így írható: a1 a3 a5 a7………..
A harmadik sor elemei a következőképpen számíthatók:
(1) Az első elem: Szorozzuk a0-t a következő oszlopban lévő átlagosan ellentétes elemmel (azaz a3-mal), majd vonjuk ki ezt a szorzatot a1 és a2 (ahol a2 a következő oszlopban lévő átlagosan ellentétes elem) szorzatából, majd végül osszuk el a kapott eredményt a1-gyel. Matematikailag írva az első elem
(2) A második elem: Szorozzuk a0-t a következő oszlopban lévő átlagosan ellentétes elemmel (azaz a5-tel), majd vonjuk ki ezt a szorzatot a1 és a4 (ahol, a4 a következő oszlopban lévő átlagosan ellentétes elem) szorzatából, majd végül osszuk el a kapott eredményt a1-gyel. Matematikailag írva a második elem
Ugyanígy számíthatók a harmadik sor minden eleme.
(d) A negyedik sor elemei a következő eljárással számíthatók:
(1) Az első elem: Szorozzuk b1-et a következő oszlopban lévő átlagosan ellentétes elemmel (azaz a3-mal), majd vonjuk ki ezt a szorzatot a1 és b2 (ahol, b2 a következő oszlopban lévő átlagosan ellentétes elem) szorzatából, majd
