Routh Hurwitz Stabilitetskriterium

Etter å ha lest teorien om nettverkssyntese, kan vi lett si at hvis noen pol av systemet ligger på høyre side av origo i s-planen, gjør det systemet ustabil. Basert på denne betingelsen startet A. Hurwitz og E.J.Routh med å undersøke de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for stabiliteten til et system. Vi vil diskutere to kriterier for systemets stabilitet. Det første kriteriet er gitt av A. Hurwitz, og dette kriteriet er også kjent som Hurwitz-kriteriet for stabilitet eller Routh-Hurwitz (R-H) stabilitetskriterium.

Hurwitz-kriteriet

Med hjelp av karakteristisk ligning, vil vi lage en rekke Hurwitz-determinanter for å finne ut systemets stabilitet. Vi definerer karakteristisk ligning for systemet som

Nå er det n determinanter for en nte orden karakteristisk ligning.

La oss se hvordan vi kan skrive determinanter fra koeffisientene i karakteristisk ligning. Steg-for-steg prosedyren for kte orden karakteristisk ligning er skrevet nedenfor:
Determinant én : Verdien av denne determinanten er gitt av |a1| der a1 er koeffisienten for sn-1 i karakteristisk ligning.
Determinant to : Verdien av denne determinanten er gitt av

Her er antall elementer i hver rad lik determinantnummeret, og vi har determinantnummeret her er to. Den første raden består av de to første oddetallskoeffisientene, og den andre raden består av de to første partallskoeffisientene.
Determinant tre : Verdien av denne determinanten er gitt av

Her er antall elementer i hver rad lik determinantnummeret, og vi har determinantnummeret her er tre. Den første raden består av de tre første oddetallskoeffisientene, den andre raden består av de tre første partallskoeffisientene, og den tredje raden består av det første elementet som null og resten av to elementer som de to første oddetallskoeffisientene.
Determinant fire: Verdien av denne determinanten er gitt av,

Her er antall elementer i hver rad lik determinantnummeret, og vi har determinantnummeret her er fire. Den første raden består av de fire første koeffisientene, den andre raden består av de fire første partallskoeffisientene, den tredje raden består av det første elementet som null og resten av tre elementer som de tre første oddetallskoeffisientene, og den fjerde raden består av det første elementet som null og resten av tre elementer som de tre første partallskoeffisientene.

Ved å følge samme prosedyre kan vi generalisere determinantformeringen. Den generelle formen for determinanten er gitt nedenfor:

For å sjekke stabiliteten av det ovennevnte systemet, beregn verdien av hver determinant. Systemet vil være stabil hvis og bare hvis verdien av hver determinant er større enn null, altså skal verdien av hver determinant være positiv. I alle andre tilfeller vil systemet ikke være stabil.

Routh-stabilitetskriteriet

Dette kriteriet er også kjent som det modifiserte Hurwitz-kriteriet for systemets stabilitet. Vi vil studere dette kriteriet i to deler. Del ett vil dekke nødvendige betingelser for systemets stabilitet, og del to vil dekke tilstrekkelige betingelser for systemets stabilitet. La oss igjen vurdere karakteristisk ligning for systemet som

1) Del ett (nødvendig betingelse for systemets stabilitet): Her har vi to betingelser som er skrevet nedenfor:

1. Alle koeffisientene i karakteristisk ligning bør være positive og reelle.

2. Alle koeffisientene i karakteristisk ligning bør være ulike null.

2) Del to (tilstrekkelig betingelse for systemets stabilitet): La oss først konstruere Routh-array. For å konstruere Routh-array, følg disse trinnene:

• Den første raden vil bestå av alle de partallstermene i karakteristisk ligning. Ordner dem fra første (partallsterm) til siste (partallsterm). Den første raden er skrevet nedenfor: a0 a2 a4 a6…………

• Den andre raden vil bestå av alle de oddetallstermene i karakteristisk ligning. Ordner dem fra første (oddetallsterm) til siste (oddetallsterm). Den første raden er skrevet nedenfor: a1 a3 a5 a7………..

• Elementene i den tredje raden kan beregnes som:
  (1) Første element : Multipliser a0 med diagonalt motsatt element i neste kolonne (dvs. a3) deretter trekker du fra dette produktet av a1 og a2 (der a2 er diagonalt motsatt element i neste kolonne) og så deler du resultatet slik at du får med a1. Matematisk skriver vi som første element

(2) Andre element : Multipliser a0 med diagonalt motsatt element i nesten neste kolonne (dvs. a5) deretter trekker du fra dette produktet av a1 og a4 (der, a4 er diagonalt motsatt element i nesten neste kolonne) og så deler du resultatet slik at du får med a1. Matematisk skriver vi som andre element

På samme måte kan vi beregne alle elementene i den tredje raden.
(d) Elementene i den fjerde raden kan beregnes ved å bruke følgende prosedyre:
(1) Første element : Multipliser b1 med diagonalt motsatt element i neste kolonne (dvs. a3) deretter trekker du fra dette produktet av a1 og b2 (der, b2 er diagonalt motsatt element i neste kolonne) og så deler du resultatet slik at du får med b1. Matematisk skriver vi som første element