Routh Hurwitz स्थिरता मानक

नेटवर्क संश्लेषण के सिद्धांत को पढ़ने के बाद, हम आसानी से कह सकते हैं कि प्रणाली का कोई भी ध्रुव s तल के मूल से दाईं ओर स्थित होने पर प्रणाली अस्थिर हो जाती है। इस शर्त के आधार पर A. Hurwitz और E.J.Routh ने प्रणाली की स्थिरता की आवश्यक और पर्याप्त शर्तों की जाँच शुरू की। हम प्रणाली की स्थिरता के लिए दो मानदंडों पर चर्चा करेंगे। पहला मानदंड A. Hurwitz द्वारा दिया गया है और इस मानदंड को Hurwitz स्थिरता मानदंड या Routh Hurwitz (R-H) स्थिरता मानदंड के रूप में भी जाना जाता है।

Hurwitz मानदंड

विशेष चरित्रिस्टिक समीकरण की मदद से, हम प्रणाली की स्थिरता का पता लगाने के लिए कई Hurwitz निर्धारक बनाएंगे। हम प्रणाली के विशेष चरित्रिस्टिक समीकरण को इस प्रकार परिभाषित करते हैं

अब n^th क्रम के विशेष चरित्रिस्टिक समीकरण के लिए n निर्धारक हैं।

आइए देखें कि हम विशेष चरित्रिस्टिक समीकरण के गुणांकों से निर्धारक कैसे लिख सकते हैं। k^th क्रम के विशेष चरित्रिस्टिक समीकरण के लिए चरण-दर-चरण प्रक्रिया नीचे दी गई है:
निर्धारक एक: इस निर्धारक का मान |a₁| द्वारा दिया जाता है, जहाँ a₁ विशेष चरित्रिस्टिक समीकरण में s^n-1 का गुणांक है।
निर्धारक दो: इस निर्धारक का मान निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

यहाँ प्रत्येक पंक्ति में तत्वों की संख्या निर्धारक संख्या के बराबर है और यहाँ हमारे पास निर्धारक संख्या दो है। पहली पंक्ति में पहले दो विषम गुणांक हैं और दूसरी पंक्ति में पहले दो सम गुणांक हैं।
निर्धारक तीन: इस निर्धारक का मान निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

यहाँ प्रत्येक पंक्ति में तत्वों की संख्या निर्धारक संख्या के बराबर है और यहाँ हमारे पास निर्धारक संख्या तीन है। पहली पंक्ति में पहले तीन विषम गुणांक, दूसरी पंक्ति में पहले तीन सम गुणांक और तीसरी पंक्ति में पहला तत्व शून्य और शेष दो तत्व पहले दो विषम गुणांक हैं।
निर्धारक चार: इस निर्धारक का मान निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

यहाँ प्रत्येक पंक्ति में तत्वों की संख्या निर्धारक संख्या के बराबर है और यहाँ हमारे पास निर्धारक संख्या चार है। पहली पंक्ति में पहले चार गुणांक, दूसरी पंक्ति में पहले चार सम गुणांक, तीसरी पंक्ति में पहला तत्व शून्य और शेष तीन तत्व पहले तीन विषम गुणांक और चौथी पंक्ति में पहला तत्व शून्य और शेष तीन तत्व पहले तीन सम गुणांक हैं।

उसी प्रक्रिया का अनुसरण करके हम निर्धारक निर्माण को सामान्यीकृत कर सकते हैं। निर्धारक का सामान्य रूप नीचे दिया गया है:

अब उपरोक्त प्रणाली की स्थिरता की जाँच करने के लिए, प्रत्येक निर्धारक का मान गणना करें। प्रणाली स्थिर होगी यदि और केवल यदि प्रत्येक निर्धारक का मान शून्य से अधिक हो, अर्थात् प्रत्येक निर्धारक का मान धनात्मक हो। इन सभी अन्य मामलों में प्रणाली स्थिर नहीं होगी।

Routh स्थिरता मानदंड

यह मानदंड प्रणाली की स्थिरता के लिए संशोधित Hurwitz मानदंड के रूप में भी जाना जाता है। हम इस मानदंड का अध्ययन दो भागों में करेंगे। भाग एक प्रणाली की स्थिरता की आवश्यक शर्तों को और भाग दो प्रणाली की स्थिरता की पर्याप्त शर्तों को कवर करेगा। फिर से आइए प्रणाली के विशेष चरित्रिस्टिक समीकरण को निम्न प्रकार से लें

1) भाग एक (प्रणाली की स्थिरता की आवश्यक शर्त): इसमें दो शर्तें हैं जो नीचे दी गई हैं:

1. विशेष चरित्रिस्टिक समीकरण के सभी गुणांक धनात्मक और वास्तविक होने चाहिए।

2. विशेष चरित्रिस्टिक समीकरण के सभी गुणांक शून्य से भिन्न होने चाहिए।

2) भाग दो (प्रणाली की स्थिरता की पर्याप्त शर्त): आइए पहले Routh सरणी बनाएं। Routh सरणी बनाने के लिए इन चरणों का पालन करें:

• पहली पंक्ति में विशेष चरित्रिस्टिक समीकरण के सभी सम शब्द होंगे। उन्हें पहले (सम शब्द) से अंत (सम शब्द) तक व्यवस्थित करें। पहली पंक्ति नीचे दी गई है: a₀ a₂ a₄ a₆…………

• दूसरी पंक्ति में विशेष चरित्रिस्टिक समीकरण के सभी विषम शब्द होंगे। उन्हें पहले (विषम शब्द) से अंत (विषम शब्द) तक व्यवस्थित करें। दूसरी पंक्ति नीचे दी गई है: a₁ a₃ a₅ a₇………..

• तीसरी पंक्ति के तत्वों की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
  (1) पहला तत्व : a₀ को अगले स्तंभ के विकर्ण विपरीत तत्व (जो a₃) से गुणा करें फिर इसे a₁ और a₂ (जहाँ a₂ अगले स्तंभ का विकर्ण विपरीत तत्व है) के उत्पाद से घटाएं और फिर अंत में प्राप्त परिणाम को a₁ से विभाजित करें। गणितीय रूप से हम पहला तत्व इस प्रकार लिखते हैं

(2) दूसरा तत्व : a₀ को अगले-अगले स्तंभ के विकर्ण विपरीत तत्व (जो a₅) से गुणा करें फिर इसे a₁ और a₄ (जहाँ, a₄ अगले-अगले स्तंभ का विकर्ण विपरीत तत्व है) के उत्पाद से घटाएं और फिर अंत में प्राप्त परिणाम को a₁ से विभाजित करें। गणितीय रूप से हम दूसरा तत्व इस प्रकार लिखते हैं

इसी तरह, हम तीसरी पंक्ति के सभी तत्वों की गणना कर सकते हैं।
(d) चौथी पंक्ति के तत्वों की गणना निम्नलिखित प्रक्रिया द्वारा की जा सकती है:
(1) पहला तत्व : b₁ को अगले स्तंभ के विकर्ण विपरीत तत्व (जो a₃) से गुणा करें फिर इसे a₁ और b₂ (जहाँ, b₂ अगले स्तंभ का विकर्ण विपरीत तत्व है) के उत्पाद से घटाएं और फि