ரௌத் ஹர்விட்சு நிலையான கோட்பாடு

நெட்வொர்க் சின்டீசிஸ் தோற்றமாக படித்த பிறகு, அதன் மூலம் எந்த ஒரு போல் உள்ளது என்றால் s தளத்தில் பூஜ்ஜியத்தின் வலது பக்கத்தில் அது அமைந்திருப்பதால் அது அமைப்பை நிலையற்றதாக்கும். இந்த நிபந்தனையின் அடிப்படையில் A. Hurwitz மற்றும் E.J.Routh அமைப்பின் நிலையானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளை ஆராயத் தொடங்கினர். அமைப்பின் நிலையானதாக இருக்க வேண்டிய இரு குறிப்பீடுகள் பற்பலக்கின்றன. முதல் குறிப்பீடு A. Hurwitz மூலம் வழங்கப்பட்டது, இது Hurwitz நிலையானதாக இருக்க வேண்டிய குறிப்பீடு அல்லது Routh Hurwitz (R-H) நிலையானதாக இருக்க வேண்டிய குறிப்பீடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

Hurwitz குறிப்பீடு

அமைப்பின் நிலையானதாக இருக்க வேண்டியதை அறிய வேண்டுமானால் போலின சமன்பாடு மூலம், நாம் பல Hurwitz நிரூபிகளை உருவாக்க முடியும். அமைப்பின் போலின சமன்பாட்டை நாம் கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கிறோம்

இங்கு n ஆம் வரிசையில் n நிரூபிகள் உள்ளன.

போலின சமன்பாட்டின் கெழுக்களிலிருந்து நாம் எப்படி நிரூபிகளை எழுத முடியும் என்பதை பார்ப்போம். k ஆம் வரிசையில் போலின சமன்பாட்டின் படி படி செயல்முறை கீழே எழுதப்பட்டுள்ளது:
நிரூபி ஒன்று : இந்த நிரூபியின் மதிப்பு |a1| என்பதால் வழங்கப்படுகிறது, இங்கு a1 என்பது போலின சமன்பாட்டில் sn-1 இன் கெழு.
நிரூபி இரண்டு : இந்த நிரூபியின் மதிப்பு

இங்கு ஒவ்வொரு வரியிலும் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை நிரூபியின் எண்ணிக்கையுடன் சமமாக இருக்கும். இங்கு நிரூபியின் எண்ணிக்கை 2. முதல் வரியில் முதல் இரண்டு ஒற்றை கெழுக்கள் மற்றும் இரண்டாம் வரியில் முதல் இரண்டு இரட்டை கெழுக்கள் உள்ளன.
நிரூபி மூன்று : இந்த நிரூபியின் மதிப்பு

இங்கு ஒவ்வொரு வரியிலும் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை நிரூபியின் எண்ணிக்கையுடன் சமமாக இருக்கும். இங்கு நிரூபியின் எண்ணிக்கை 3. முதல் வரியில் முதல் மூன்று ஒற்றை கெழுக்கள், இரண்டாம் வரியில் முதல் மூன்று இரட்டை கெழுக்கள் மற்றும் மூன்றாம் வரியில் முதல் உறுப்பு பூஜ்ஜியமாகவும் மீதமுள்ள இரு உறுப்புகள் முதல் இரண்டு ஒற்றை கெழுக்களாகவும் இருக்கும்.
நிரூபி நான்கு: இந்த நிரூபியின் மதிப்பு

இங்கு ஒவ்வொரு வரியிலும் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை நிரூபியின் எண்ணிக்கையுடன் சமமாக இருக்கும். இங்கு நிரூபியின் எண்ணிக்கை 4. முதல் வரியில் முதல் நான்கு கெழுக்கள், இரண்டாம் வரியில் முதல் நான்கு இரட்டை கெழுக்கள், மூன்றாம் வரியில் முதல் உறுப்பு பூஜ்ஜியமாகவும் மீதமுள்ள மூன்று உறுப்புகள் முதல் மூன்று ஒற்றை கெழுக்களாகவும், நான்காம் வரியில் முதல் உறுப்பு பூஜ்ஜியமாகவும் மீதமுள்ள மூன்று உறுப்புகள் முதல் மூன்று இரட்டை கெழுக்களாகவும் இருக்கும்.

இந்த செயல்முறையை பின்பற்றி நாம் நிரூபியின் வடிவமைப்பை பொதுமைப்படுத்த முடியும். நிரூபியின் பொது வடிவம் கீழே வழங்கப்பட்டுள்ளது:

இந்த அமைப்பின் நிலையானதாக இருக்க வேண்டுமானால், ஒவ்வொரு நிரூபியின் மதிப்பையும் கணக்கிட வேண்டும். அமைப்பு நிலையானதாக இருக்கும் என்றால், ஒவ்வொரு நிரூபியின் மதிப்பும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவும் அதாவது ஒவ்வொரு நிரூபியின் மதிப்பும் நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும். இதற்கு மற்ற அனைத்து நிபந்தனைகளிலும் அமைப்பு நிலையற்றதாக இருக்கும்.

Routh நிலையானதாக இருக்க வேண்டிய குறிப்பீடு

இந்த குறிப்பீடு அமைப்பின் நிலையானதாக இருக்க வேண்டிய மாற்று Hurwitz குறிப்பீடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இதை இரு பகுதிகளில் ஆராய்வோம். முதல் பகுதி அமைப்பின் நிலையானதாக இருக்க வேண்டிய அவசிய நிபந்தனைகளை மற்றும் இரண்டாம் பகுதி அமைப்பின் நிலையானதாக இருக்க வேண்டிய போதுமான நிபந்தனைகளை கொண்டிருக்கும். மீண்டும் அமைப்பின் போலின சமன்பாட்டை எடுத்துக்கொள்வோம்

1) முதல் பகுதி (அமைப்பின் நிலையானதாக இருக்க வேண்டிய அவசிய நிபந்தனை): இதில் இரு நிபந்தனைகள் உள்ளன, இவை கீழே வழங்கப்பட்டுள்ளன:

1. போலின சமன்பாட்டின் அனைத்து கெழுக்களும் நேர்மறையாகவும் உண்மையாகவும் இருக்க வேண்டும்.

2. போலின சமன்பாட்டின் அனைத்து கெழுக்களும் பூஜ்ஜியமல்லாதவையாக இருக்க வேண்டும்.

2) இரண்டாம் பகுதி (அமைப்பின் நிலையானதாக இருக்க வேண்டிய போதுமான நிபந்தனை): முதலில் Routh அணியை உருவாக்க வேண்டும். Routh அணியை உருவாக்க இந்த படிகளை பின்பற்றவும்:

• முதல் வரியில் போலின சமன்பாட்டின் அனைத்து இரட்டை உறுப்புகளும் இருக்கும். அவை முதல் (இரட்டை உறுப்பு) முதல் இறுதி (இரட்டை உறுப்பு) வரை வரிசையாக அமைந்துள்ளன. முதல் வரி கீழே வழங்கப்பட்டுள்ளது: a0 a2 a4 a