Routh Hurwitz Stöðugleikarregla

Eftir að hafa lesið um kenningarnar á netverkssamsetningu, er auðvelt að segja að ef einhver spíkur kerfisins liggur á hægri hlið s-planinu, þá gerir það kerfið óstöðugt. Á grunni þessa skilyrðis byrjuðu A. Hurwitz og E.J. Routh að rannsaka nauðsynlegu og nægjanlegt skilyrði fyrir stöðugleika kerfis. Við munum tala um tvær markmið fyrir stöðugleika kerfisins. Fyrsta markmiðið er gefið af A. Hurwitz og þetta markmið er kend sem Hurwitz-markmið fyrir stöðugleika eða Routh-Hurwitz (R-H) stöðugleiksmarkmið.

Hurwitz-markmið

Með hjálp kennileitinnar munum við smíða fjölda Hurwitz-determinants til að finna stöðugleika kerfisins. Við skilgreinum kennileitina fyrir kerfið sem

Nú eru þarna n determinants fyrir nta stigs kennileitu.

Látum okkur sjá hvernig við getum skrifað determinants úr stuðlum kennileitarinnar. Skref fyrir skref leiðbeiningar fyrir kta stigs kennileitu eru skrifuð hér fyrir neðan:
Determinantur einn : Gildi þessara determinants er gefið með |a1| þar sem a1 er stuðullinn við sn-1 í kennileitinni.
Determinantur tvær : Gildi þessara determinants er gefið með

Hér er fjöldi staka í hverri línu jafn ákvörðunarnúmeri og við höfum ákvörðunarnúmer hér er tvær. Fyrsta línan samanstendur af fyrstu tveim oddastökum og önnur línan samanstendur af fyrstu tveim evennstökum.
Determinantur þrír : Gildi þessara determinants er gefið með

Hér er fjöldi staka í hverri línu jafn ákvörðunarnúmeri og við höfum ákvörðunarnúmer hér er þrír. Fyrsta línan samanstendur af fyrstu þrem oddastökum, önnur línan samanstendur af fyrstu þrem evennstökum og þriðja línan samanstendur af fyrsta staki sem er núll og restin tvö stök sem eru fyrstu tveir oddastokkar.
Determinantur fjórir: Gildi þessara determinants er gefið með,

Hér er fjöldi staka í hverri línu jafn ákvörðunarnúmeri og við höfum ákvörðunarnúmer hér er fjórir. Fyrsta línan samanstendur af fyrstu fjórum stökum, önnur línan samanstendur af fyrstu fjórum evennstökum, þriðja línan samanstendur af fyrsta staki sem er núll og restin þrjú stök sem eru fyrstu þrír oddastokkar og fjórða línan samanstendur af fyrsta staki sem er núll og restin þrjú stök sem eru fyrstu þrír evennstokkar.

Með því að fylgja sama ferli má almenna smíða ákvörðunarform. Almenn formi ákvörðunar er gefið hér fyrir neðan:

Nú til að athuga stöðugleika ofangreindrar kerfis, reiknið gildi hvers ákvörðunar. Kerfið verður stöðugt ef og aðeins ef gildi hvers ákvörðunar er stærra en núll, þ.e. gildi hvers ákvörðunar ætti að vera jákvætt. Í öllum öðrum tilvikum verður kerfið ekki stöðugt.

Routh-stöðugleiksmarkmið

Þetta markmið er kend sem breytt Hurwitz-markmið fyrir stöðugleika kerfisins. Við munum studera þetta markmið í tveimur hlutum. Fyrsti hlutur mun fjalla um nauðsynlegt skilyrði fyrir stöðugleika kerfisins og annar hluti mun fjalla um nægjanlegt skilyrði fyrir stöðugleika kerfisins. Látum okkur aftur hugsa um kennileitina fyrir kerfið sem

1) Fyrsti hluti (nauðsynlegt skilyrði fyrir stöðugleika kerfisins): Hér höfum við tvö skilyrði sem eru skrifuð hér fyrir neðan:

1. Allir stuðlar kennileitarinnar ættu að vera jákvæðir og raungöl.

2. Allir stuðlar kennileitarinnar ættu að vera ekki núll.

2) Annar hluti (nægjanlegt skilyrði fyrir stöðugleika kerfisins): Látum okkur fyrst smíða Routh-fylki. Til að smíða Routh-fylki fylgjum þessum skrefum:

• Fyrsta línan mun samanstunda af öllum evennum liðum kennileitarinnar. Raða þeim frá fyrsta (evennum lið) til síðasta (evennum lið). Fyrsta línan er skrifuð hér fyrir neðan: a0 a2 a4 a6…………

• Önnur línan mun samanstunda af öllum oddastökum kennileitarinnar. Raða þeim frá fyrsta (oddastoku) til síðasta (oddastoku). Önnur línan er skrifuð hér fyrir neðan: a1 a3 a5 a7………..

• Stak þriðjar línu má reikna svona:
  (1) Fyrsta stakið : Margfalda a0 með hornréttu staki í næstu dálki (þ.e. a3) svo draga þetta frá margfeldi a1 og a2 (þar sem a2 er hornrétt stak í næstu dálki) og svo að lokum deila niðurstöðunni sem fengin er með a1. Stærðfræðilega skrifum við fyrsta stakið

(2) Annað stakið : Margfalda a0 með hornréttu staki í næstu næstu dálki (þ.e. a5) svo draga þetta frá margfeldi a1 og a4 (þar sem, a4 er hornrétt stak í næstu næstu dálki) og svo að lokum deila niðurstöðunni sem fengin er með a1. Stærðfræðilega skrifum við annað stakið

Svona má reikna allar stök þriðjar línu.
(d) Stak fjórðar línu má reikna með því að nota eftirtöld aðferð:
(1) Fyrsta stakið : Margfalda b1 með hornréttu staki í næstu dálki (þ.e. a3) svo draga þetta frá margfeldi a